1. Cho a,b,c > 0. CmR: $\dfrac{a^2 b^2}{a b} \dfrac{b^2 c^2}{b c} \dfrac{c^2 a^2}{c a}\le3.\dfrac{a^2 b^2 c^2}{a b c}$2. Cho $f\left(x\right)=ax^2 bx c$ biết rằng: \(\hept{\begin{cases}\left|f\le...

TA

Thiên An

3 tháng 9 2017 - olm

1. Cho a,b,c > 0. CmR: $\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}\le3.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$2. Cho $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ biết rằng: $\hept{\begin{cases}\left|f\left(0\right)\right|\le1\\\left|f\left(-1\right)\right|\le1\\\left|f\left(1\right)\right|\le1\end{cases}}$CmR: a) $\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\le3$ b) \(\left|f\left(x\right)\right|\le\dfrac{5}{4}\forall...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

TN

Thắng Nguyễn

3 tháng 9 2017

1.

Nhân 2 vế của BĐT với $\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)$

$3(a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)\ge(a+b+c)\left(Σ_{cyc}(a^2+b^2)(c+a)(c+b)\right)$

$\LeftrightarrowΣ_{perms}a^2b\left(a-b\right)^2\ge0$ *đúng*

Đúng(0)

T

TFBoys

3 tháng 9 2017

1. Cho a,b,c > 0. CmR: $\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}\le3.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$ 2. Cho $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ biết rằng: $\left\{{}\begin{matrix}\left|f\left(0\right)\right|\le1\\\left|f\left(-1\right)\right|\le1\\\left|f\left(1\right)\right|\le1\end{matrix}\right.$ CmR: a) $\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\le3$ b) \(\left|f\left(x\right)\right|\le\dfrac{5}{4}\forall...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

1

KN

Khánh Nguyễn

30 tháng 11 2017

sky oi say oh yeah

Đúng(0)

PL

Phạm Lợi

3 tháng 1 2019

1)cho a,b,c >0. $cmr:\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ca}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{a+b+c}{2abc}$ 2) cho a,b,c>0 và a+b+c=1. $cmr:\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\ge64$ 3) cho a,b,c>0. $cme:\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$ 4) cho a,b,c>0 .$cmr:\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{c^3}+\dfrac{c^3}{a^3}\ge\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}$ 5)cho a,b,c>0. cmr:...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

7

DB

đề bài khó wá

3 tháng 1 2019

3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :

$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}$

$\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}$

$\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}$

Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :

$2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)$

$\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)$

Đúng(0)

AH

Akai Haruma

Giáo viên

4 tháng 1 2019

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}$

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c$

Do đó:

$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(1)

NT

Ngô Tấn Đạt

26 tháng 2 2018

Cho $\dfrac{bz+cy}{x\left(-ax+by+cz\right)}=\dfrac{cx+az}{y\left(ax-by+cz\right)}=\dfrac{ay+bx}{z\left(ax+by-cz\right)}$

CMR : $\dfrac{ay+bx}{c}=\dfrac{bz+cy}{a}=\dfrac{cx+az}{b}$

b) $\dfrac{x}{a\left(b^2+c^2-a^2\right)}=\dfrac{y}{b\left(a^2+c^2-b^2\right)}=\dfrac{z}{c\left(a^2+b^2-c^2\right)}$

#Toán lớp 7

1

NT

Ngô Tấn Đạt

26 tháng 2 2018

Phương Ann Nhã Doanh đề bài khó wá Mashiro Shiina Đinh Đức Hùng

Nguyễn Huy Tú Lightning Farron Akai Haruma

Đúng(0)

DH

dinh huong

17 tháng 8 2021

cho a,b,c>0 .CMR $\dfrac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\le\dfrac{1}{3}$

#Toán lớp 9

0

AL

acc lập ra để hỏi bất đẳng thức

14 tháng 2 2021

cho $\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c\le\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.$

tìm $MinS=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}$

#Toán lớp 10

2

TM

Trần Minh Hoàng

14 tháng 2 2021

Lâu rồi không lên Hoc24

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, Schwarz và AM - GM ta có:

$S\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}=\sqrt{\left[\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}\right]+\dfrac{81.15}{16\left(a+b+c\right)^2}}\ge\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{135}{4}}=\sqrt{\dfrac{153}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$.

Đúng(2)

AL

acc lập ra để hỏi bất đẳng thức

14 tháng 2 2021

undefined

Sau khi chọn đc hệ số điểm rơi là 16 thì cơ sở nào tách tiếp ra 16 số rồi áp dụng cosi nữa vậy ạ??

Đúng(0)

TT

Tae Tae

13 tháng 1 2019

1. Tìm GTLN $y=x^3\left(2-x\right)^5$

2. Cho $0\le a\le1$. Chứng minh rằng $a\left(1-a^2\right)$$\le\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$

3. Cho a,b,c >0

CMR: $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

#Toán lớp 10

1

NP

Nhật Phong Vũ

13 tháng 1 2019

3.

$\dfrac{2a^2}{b^2}+2\dfrac{b^2}{c^2}+2\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)$

áp dụng bất đẳng thức cosi

+ $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\dfrac{a}{c}$

......

tương tự với 2 cái sau

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thị Huyền Diệp

21 tháng 3 2022

Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. CMR:

$\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\right)^3\le\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\right)$

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

21 tháng 3 2022

Đẳng thức quen thuộc: $a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)$ và tương tự cho các mẫu số còn lại

Ta có:

$\sum\dfrac{1}{a^2+1}=\sum\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$

Mặt khác:

$2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right]\left(a+b+c\right)$

$\ge\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2$ (Bunhiacopxki)

$\Rightarrow\sum\dfrac{1}{a^2+1}\ge\dfrac{\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$

$=\left(\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\right)^2$

$=\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\right)^2$

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{3}{2}$

$\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{3}{2}$

Đúng theo AM-GM:

$\sum\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Đúng(2)

VD

Vô danh

3 tháng 4 2022

B1: Cho $0\le a,b,c\le2$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR: $a^2+b^2+c^2\le5$B2: Cho $a,b\ge0$ thỏa mãn $a^2+b^2=a+b$. TÌm GTLN $S=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}$B3: CMR: \(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\forall x\ne...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

3

TT

Trần Tuấn Hoàng

3 tháng 4 2022

Bài 3:

$\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}$

$\Leftrightarrow x^2y^2\left(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{4}{xy}.x^2y^2$

$\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2\ge4xy$

$\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2-2xy+y^2\ge2xy$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge2xy$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2-2xy+\left(x-y\right)^2\ge0$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}-x+y\right)^2=0$ (luôn đúng)

Đúng(3)

TT

Trần Tuấn Hoàng

3 tháng 4 2022

-Tham khảo:

undefined

Đúng(3)

VD

Vô danh

5 tháng 4 2022

$1,Cho.a,b,c\ge1.CMR:\left(a-\dfrac{1}{b}\right)\left(b-\dfrac{1}{c}\right)\left(c-\dfrac{1}{a}\right)\ge\left(a-\dfrac{1}{a}\right)\left(b-\dfrac{1}{b}\right)\left(c-\dfrac{1}{c}\right)$

2, Cho a,b,c>0.CMR:

$\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{b+c}{ac+b^2}+\dfrac{c+a}{ab+c^2}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

#Toán lớp 8

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

5 tháng 4 2022

1.

BĐT cần chứng minh tương đương:

$\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)$

Ta có:

$\left(ab-1\right)^2=a^2b^2-2ab+1=a^2b^2-a^2-b^2+1+a^2+b^2-2ab$

$=\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)+\left(a-b\right)^2\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)$

Tương tự: $\left(bc-1\right)^2\ge\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)$

$\left(ca-1\right)^2\ge\left(c^2-1\right)\left(a^2-1\right)$

Do $a;b;c\ge1$ nên 2 vế của các BĐT trên đều không âm, nhân vế với vế:

$\left[\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\right]^2\ge\left[\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\right]^2$

$\Rightarrow\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Câu 2 em kiểm tra lại đề có chính xác chưa

Đúng(5)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

5 tháng 4 2022

2.

Câu 2 đề thế này cũng làm được nhưng khá xấu, mình nghĩ là không thể chứng minh bằng Cauchy-Schwaz được, phải chứng minh bằng SOS

Không mất tính tổng quát, giả sử $c=max\left\{a;b;c\right\}$

$\Rightarrow\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0$ (1)

BĐT cần chứng minh tương đương:

$\dfrac{1}{a}-\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{b+c}{ac+b^2}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{c+a}{ab+c^2}\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{b\left(c-a\right)}{a^3+abc}+\dfrac{c\left(a-b\right)}{b^3+abc}+\dfrac{a\left(b-c\right)}{c^3+abc}\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)+a\left(c-b\right)}{a^3+abc}+\dfrac{c\left(a-b\right)}{b^3+abc}+\dfrac{a\left(b-c\right)}{c^3+abc}\ge0$

$\Leftrightarrow c\left(b-a\right)\left(\dfrac{1}{a^3+abc}-\dfrac{1}{b^3+abc}\right)+a\left(c-b\right)\left(\dfrac{1}{a^3+abc}-\dfrac{1}{c^3+abc}\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)\left(b^3-a^3\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)\left(c^3-a^3\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(a^2+ac+c^2\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\ge0$

Đúng theo (1)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(3)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP