1.Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}>\frac{9}{4}\)
2.Chứng minh rằng với mọi n thuộc N và n>2 thì nn+1>(n+1)n
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ND
Nguyễn Đăng Nhân
CTVHS
26 tháng 2 2022
Xét số hạng tổng quát ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\left(n+1\right)n}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\sqrt{n}\cdot\frac{2}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng vào bài tập, ta có:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(< \frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)
\(=2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2\left(đpcm\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 10 2019
Lời giải:
Đặt biểu thức đã cho là $P$
\(2P=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+...+\frac{2}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}>\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}}+....+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{101}}(*)\)
Mà:
\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+....+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{101}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{(\sqrt{1}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{1})}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+....+\frac{\sqrt{101}-\sqrt{99}}{(\sqrt{99}+\sqrt{101})(\sqrt{101}-\sqrt{99})}\)
\(=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+...+\frac{\sqrt{101}-\sqrt{99}}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{101}-\sqrt{1}}{2}>\frac{\sqrt{100}-1}{2}=\frac{9}{2}(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow 2P>\frac{9}{2}\Rightarrow P>\frac{9}{4}\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2019
Lời giải:
Sửa đề: CMR:
\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n}-1\)
-------------------------------
Sử dụng PP liên hợp ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{1}+\sqrt{2})(\sqrt{2}-\sqrt{1})}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+\sqrt{4})(\sqrt{4}-\sqrt{3})}+....+\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{(\sqrt{n-1}+\sqrt{n})(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}\)
\(=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+....+\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{n-(n-1)}\)
\(=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)
\(=\sqrt{n}-\sqrt{1}=\sqrt{n}-1\)
Ta có đpcm.
Đặt:
\(A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}\)
\(\Leftrightarrow2A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}\)
\(>\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{101}}\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\sqrt{3}-\sqrt{1}+\sqrt{5}-\sqrt{3}+...+\sqrt{101}-\sqrt{99}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\sqrt{101}-\sqrt{1}\right)>\frac{1}{2}.\left(\sqrt{100}-\sqrt{1}\right)\)
\(=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow A>\frac{9}{4}\)
Câu 2/ Ta có:
\(n^{n+1}>\left(n+1\right)^n\)
\(\Leftrightarrow n>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\left(1\right)\)
Giờ ta chứng minh cái (1) đúng với mọi \(n\ge3\)
Với \(n=3\) thì dễ thấy (1) đúng.
Giả sử (1) đúng đến \(n=k\) hay
\(k>\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\)
Ta cần chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)hay \(k+1>\left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}\)
Ta có: \(\left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}< \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1}=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k.\left(1+\frac{1}{k}\right)\)
\(< k\left(1+\frac{1}{k}\right)=k+1\)
Vậy có ĐPCM