cho x,y>0. x2+y2\(\le x+y\). CM x+3y\(\le2+\sqrt{5}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2023
Đặt vế trái là P, ta có:
\(P\le\sqrt{3\left(\dfrac{x}{z+3x}+\dfrac{y}{x+3y}+\dfrac{z}{y+3z}\right)}\)
Nên ta chỉ cần chứng mình: \(\sqrt{3\left(\dfrac{x}{z+3x}+\dfrac{y}{x+3y}+\dfrac{z}{y+3z}\right)}\le\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{z+3x}+\dfrac{y}{x+3y}+\dfrac{z}{y+3z}\le\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3x}{z+3x}-1+\dfrac{3y}{x+3y}-\dfrac{3z}{y+3z}-1\le\dfrac{9}{4}-3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{z}{z+3x}+\dfrac{x}{x+3y}+\dfrac{y}{y+3z}\ge\dfrac{3}{4}\)
BĐT trên đúng do:
\(\dfrac{z}{z+3x}+\dfrac{x}{x+3y}+\dfrac{y}{y+3z}=\dfrac{z^2}{z^2+3zx}+\dfrac{x^2}{x^2+3xy}+\dfrac{y^2}{y^2+3yz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+xy+yz+zx}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{3}{4}\)
I
5
T
10 tháng 2 2019
Nếu là tìm max thì làm như sau:
\(A=\sqrt{\dfrac{3}{5}}.\left(\sqrt{\dfrac{5}{3}.x}+\sqrt{\dfrac{5}{3}.y}+\sqrt{\dfrac{5}{3}.z}\right)\)
\(\le\sqrt{\dfrac{3}{5}}.\left(\dfrac{x+y+z+5}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{3}{5}}.5=\sqrt{15}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{5}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 10 2020
Do \(1\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2\le3x\)
Tương tự \(y^2+2\le3y\)
Do đó:
\(P=\frac{x+2y}{x^2+2+3y+3}+\frac{2x+y}{y^2+2+3x+3}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\ge\frac{x+2y}{3x+3y+3}+\frac{2x+y}{3x+3y+3}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)
\(P\ge\frac{3x+3y}{3x+3y+3}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}=\frac{x+y}{x+y+1}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)
Đặt \(x+y=t\Rightarrow2\le t\le4\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4t-4}=\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4t-4}-\frac{7}{8}+\frac{7}{8}\)
\(P\ge\frac{\left(t-3\right)^2}{8\left(t^2-1\right)}+\frac{7}{8}\ge\frac{7}{8}\)
\(P_{min}=\frac{7}{8}\) khi \(t=3\) hay \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right);\left(2;1\right)\)
TN
30 tháng 1 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: VT\le \sqrt{3\sum \frac{x}{z+3x}}
Ta cần chứng minh \sum \frac{x}{z+3x} \leq \frac{3}{4}
\leftrightarrow \sum \frac{3x}{z+3x} \leq \frac{9}{4}
\leftrightarrow \sum(1-\frac{3x}{z+3x}) \geq \frac{3}{4}
\leftrightarrow \sum \frac{z}{z+3x} \geq \frac{3}{4}
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\sum \frac{z}{z+3x}=\sum \frac{z^2}{z^2+3xz} \geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+xy+yz+zx} \geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}}=\frac{3}{4}
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
P/s:OLM chặn paste r` mà có vài công thức OLM ko có nên mk ko paste dc đành gõ = latex thông cảm, trách thì trách OLM, ko hiểu dc thì bảo Ad dịch hộ
13 tháng 9 2021
\(x^2+y^2\le x+y\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
\(\left[1\cdot\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+3\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2\right]\le10\left[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2\right]\le5\)
\(\Leftrightarrow\left(x+3y-2\right)^2\le5\\ \Leftrightarrow x+3y-2\le\sqrt{5}\\ \Leftrightarrow x+3y\le2+\sqrt{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5+\sqrt{5}}{10}\\y=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\end{matrix}\right.\)
KN
22 tháng 4 2020
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử \(x\ge y\ge z\).Khi đó:
\(5=x+y+z\le3x\le6\Leftrightarrow\frac{5}{3}\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)(*)
Mặt khác, vì \(0\le y,z\le2\)nên \(\left(y-2\right)\left(z-2\right)\ge0\Leftrightarrow yz\ge2\left(y+z\right)-4\)
\(\Leftrightarrow yz\ge2\left(5-x\right)-4=6-2x\)
Do đó:
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{3-x+2\sqrt{2}\sqrt{3-x}+2}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\)
Vì \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\right)^2=x+2\sqrt{x\left(3-x\right)}+3-x\)
\(=3+2\sqrt{3x-x^2}=3+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(2-x\right)+2}\ge3+2\sqrt{2}\)
\(=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)(vì \(\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)theo (*)) nên \(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\ge\sqrt{2}+1\)
Vậy \(A\ge2\sqrt{2}+1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}0\le x,y,z\le2;x+y+z=5\\\left(x-1\right)\left(2-x\right)=0\\yz=6-2x\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2;z=1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(2\sqrt{2}+1\)đạt được khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2,2,1\right)\)và các hoán vị
