Cho các số nguyên tố p,q sao cho: r = \(\frac{p^2+q^2}{p+q}\)∈ N* .
Chứng minh rằng r là số nguyên tố.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PL
1
4 tháng 9 2019
Trước hết ta có thể giả sử q=2
* Nếu n là số nguyên dương lẻ thì ta có:
\(p^n+2^n=\left(p+2\right)\left(\frac{p^n+2^n}{p+2}\right)=r^2\) mà do r là số nguyên tố nên ta phải có:
\(p+2=\frac{p^n+2^n}{p+2}=r\)
Nếu n là số lẻ và \(n\ge3\) thì ta có: \(\frac{p^n+2^n}{p+2}>p+2\) từ đây ta dẫn đến một điều vô lý. Do đó, ta phải có: n=1.
* Nếu n là số chẵn, đặt n=2k , \(k\in Z^+\) thì từ đây ta có: \(\left(p^k\right)^2+\left(2^k\right)^2=r^2\) mà dễ thấy p , r phải phân biệt nên đây là bộ ba Phythagore nên tồn tại x,y:(x,y) = 1 và x,y khác tính chẵn lẻ thỏa mãn:
\(\hept{\begin{cases}p^k=2xy\\2^k=x^2-y^2\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}2^k=2xy\\p^k=x^2-y^2\end{cases}}\)
Mà p là số nguyên tố nên trường hợp này không xảy ra.
Vậy ta phải có: n=1
Chúc bạn học tốt !!!
20 tháng 4 2015
p + q+ r = (b +a) + (a+c) + (b +c) = 2.(a+b+c)
=> p + q + r chẵn
+ Nếu 3 số p, q , r đều lẻ => để p+q+r chẵn thì ít nhất 2 trong 3 số đó phải bằng nhau
+ Nếu có 1 trong các số bằng 2; giả sử p = 2 => a+ b = 2
mà a; b; nguyên dương => a=b = 1 => a+ c = b + c => q = r
=> ĐPCM
20 tháng 4 2015
bổ sung : nếu p, q, r đều lớn hơn 2 và khác nhau => tổng p+ q+ r lẻ
NT
0
7 tháng 9 2021
1 số chính phương khi chia cho 3 dư 1 \(\Rightarrow\) p2 - q2 + r2 - s2 ⋮ 3
1 số chính phương khi chia cho 8 dư 0, 1 hoặc 4 mà p, q, r, s là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p2 , q2 , r2 ,s2 chia 8 dư 1 (1 số lẻ chia cho 1 số chẵn thì số dư của nó là số lẻ) suy ra p2 - q2 + r2 - s2 ⋮8
Suy ra p2 - q2 + r2 - s2 ⋮24
3 tháng 3 2020
Bài 2 :
Tham khảo nha bạn !
Giả sử a≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bca≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bc. Theo giả thiết abc<ab+bc+caabc<ab+bc+ca (1) nên abc<3bc⇒a<3abc<3bc⇒a<3 mà a là số nguyên tố nên a = 2. Thay a = 2 vào (1) được 2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c)2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c) (2)
Vì b≤c⇒bc<4c⇒b<4b≤c⇒bc<4c⇒b<4. Vì b là số nguyên tố nên b = 2 hoặc b = 3. Với b = 2 thay vào (2) được 2c < 4 + 2c đúng với mọi c là số nguyên tùy ý. Với b = 3 thay vào (2) được c < 6 nên c = 3 hoặc c = 5
Vậy (2; 2; c), (2; 3; 3), (2; 3; 5) với c là số nguyên tố tùy ý
3 tháng 3 2020
Vì a,b,c có vai trò như nhau. Giả sử a<b<c
Khi đó ab+bc+ca =< 3bc
=> abc<3bc => a<3 => a=2 (vì a là số nguyên tố)
Với a=2, ta có:
2bc < 2b+2c-bc =< 4c
=> b<4 => b=2 hoặc b=3
Nếu b=2 thì 4c<2+4c thỏa mãn với c là số nguyên bất kì
Nếu b=3 thì 6c<6+5c => c<6 => c=3 hoặc c=5
Vậy các cặp số (a,b,c) cần tìm là: (2;2;p);(2;2;3);(2;3;5) và các hoán vị của chúng với p là số nguyên tố
