Cho x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x4+y4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(x^2+y^2=1+xy\Rightarrow x^2+y^2-xy=1\)
Ta có: \(1+xy=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le1\)
\(1+xy=x^2+y^2\ge-2xy\Rightarrow xy\ge-\dfrac{1}{3}\)
\(P=\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2-2x^2y^2=\left(x^2+y^2-xy\right)\left(x^2+y^2+xy\right)-2x^2y^2\)
\(=x^2+y^2+xy-2x^2y^2=-2x^2y^2+2xy+1\)
Đặt \(a=xy\Rightarrow P=f\left(a\right)=-2a^2+2a+1\)
Xét hàm \(f\left(a\right)=-2a^2+2a+1\) trên \(\left[-\dfrac{1}{3};1\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[-\dfrac{1}{3};1\right]\)
\(f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{9}\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\) ; \(f\left(1\right)=1\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{3}{2}\) ; \(m=\dfrac{1}{9}\) \(\Rightarrow Mm=\dfrac{1}{6}\)
27 tháng 2 2021
Ta có: \(M=x^4-xy^3+xy^3-y^4-1\)
\(=x^4-y^4-1\)
\(=\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)-1\)
\(=\left(x+y\right)\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)-1\)(1)
Thay x+y=0 vào biểu thức (1), ta được:
\(M=0-1=-1\)
Vậy: Khi x+y=0 thì M=-1
27 tháng 2 2021
`M=x^4-xy^3+xy^3-y^4-1`
`=x(x^3+y^3)-y^3(x+y)-1`
`=x(x+y)(x^2-xy+y^2)-0-1`(do `x+y=0`)
`=0-0-1`
`=-1`
25 tháng 8 2021
a) \(A=y\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)-y\left(x^4-y^4\right)=y\left(x^4-y^4\right)-y\left(x^4-y^4\right)=0\)
b) \(B=\left(x-1\right)^3-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-3\left(1-x\right)x=x^3-3x^2+3x-1-x^3-x^2-x+x^2+x+1-3x+3x^2=0\)
25 tháng 8 2021
a: Ta có: \(A=y\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)-y\left(x^4-y^4\right)\)
\(=y\left(x^4-y^4\right)-y\left(x^4-y^4\right)\)
=0
b: Ta có: \(B=\left(x-1\right)^3-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-3x\left(1-x\right)\)
\(=x^3-3x^2+3x-1-x^3+1-3x+3x^2\)
=0
\(\text{Xét:}x^4+y^4-2x^2y^2=\left(x^2-y^2\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+2x^2y^2+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2\)
\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\ge\frac{1}{4}\Rightarrow x^4+y^4\ge\frac{1}{8}\)
=> giá trị nhỏ nhất của P là 1/8 dấu "=" xảy ra khi: x=y=1/2
C-s:\(P=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2\ge\left(x^2+y^2\right)^2\ge\left(\left(x+y\right)^2\right)^2=1\)
Xảy ra khi x=y=1/2