Chứng minh : x5+y5\(\ge x^4y+xy^4\)vs x,y \(\ne0\)và \(x+y\ge0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
G
1
HP
5 tháng 1 2017
x^5+y^5 >= x^4y+xy^4
<=>x^5+y^5-x^4y-xy^4 >= 0
<=>x^4(x-y)-y^4(x-y) >= 0
<=>(x-y)(x^4-y^4) >= 0
<=>(x-y)(x^2-y^2)(x^2+y^2) >= 0
<=>(x-y)^2(x+y)(x^2+y^2) >= 0 (luôn đúng do x+y >= 0)
Vậy bđt đầu là đúng
Z
1
22 tháng 3 2020
P/s : Sửa đề : Cho x > y > 1 và x5 + y5 = x - y . Chứng minh rằng : x4 + y4 < 1
+)Ta có : x4 + y4 < x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4
Mà x > y > 1 \( \implies\) x - y > 0
\( \implies\) ( x - y ) ( x4 + y4 ) < ( x - y ) ( x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 ) ( * )
+)Ta có : ( x - y ) ( x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 )
= x ( x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 ) - y ( x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 )
= x5 + x4y + x3y2 + x2y3 + xy4 - x4y - x3y2 - x2y3 - xy4 - y5
= x5 - y5
\( \implies\) ( x - y ) ( x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 ) = x5 - y5 ( ** )
Từ ( * ) ; ( ** )
\( \implies\) ( x - y ) ( x4 + y4 ) < x5 - y5
Mà x5 - y5 < x5 + y5
\( \implies\) ( x - y ) ( x4 + y4 ) < x5 - y5
\( \implies\) ( x - y ) ( x4 + y4 ) < x - y
\( \implies\) x4 + y4 < 1 ( đpcm )
4 tháng 2 2017
Em mới lớp 7 nên chỉ biết giải bài 2 thôi
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a+c-b}{b}=\frac{c+b-a}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b-c}{c}+2=\frac{a+c-b}{b}+2=\frac{c+b-a}{a}+2\)
\(=\frac{a+b}{c}-1+2=\frac{a+c}{b}-1+2=\frac{c+b}{a}-1+2\)
\(=\frac{a+b}{c}+1=\frac{a+c}{b}+1=\frac{c+b}{a}+1\)
\(=\frac{a+b+c}{c}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{a}\)
\(\Rightarrow a=b=c\) Thao vào P ta được :
\(P=\frac{\left(a+a\right)\left(a+a\right)\left(a+a\right)}{a^3}=\frac{2a.2a.2a}{a^3}=\frac{8a^3}{a^3}=8\)
4 tháng 2 2017
1
xét hiệu \(x^5+y^5-x^4y-xy^4=x^4\left(x-y\right)-y^4\left(x-y\right)\)
\(=\left(x^4-y^4\right)\left(x-y\right)=\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\)
tự lập luộn nha \(\Rightarrow x^5+y^5-x^4y-xy^4\ge0\)
\(\Rightarrow x^5+y^5\ge x^4y+xy^4\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 5 2021
\(VT=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x^2y^2}\)
\(VT=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}+\dfrac{2}{xy}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-y\right)^2}{\left(x-y\right)^2x^2y^2}}+\dfrac{2}{xy}=\dfrac{2}{\left|xy\right|}+\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{2}{xy}+\dfrac{2}{xy}=\dfrac{4}{xy}\)
SG
2
30 tháng 3 2017
\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\forall x,y\ge0\left(1\right)\)
*) Xét \(x=y=0\) thì \(\left(1\right)\) luôn đúng
*) Xét \(x,y>0\) ta có: \(VT=x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2-xy+y^2\ge2xy-xy=xy\)
\(\Rightarrow VT=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\left(2\right)\)
Lại có: \(VP=x^2y+xy^2=xy\left(x+y\right)\left(3\right)\)
Từ \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra BĐT được chứng minh
Vậy \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\forall x,y\ge0\)
30 tháng 3 2017
x3+y3\(\geq\) x2y + xy2, \(\forall\)x\(\geq\)0,\(\forall\)y\(\geq\)0
Xét x=0,y=0 thì bất đẳng thức này luôn đúng.(*)
Xét x>0,y>0,ta có CM bất đẳng thức đó luôn đúng
x3+y3\(\geq\) x2y+xy2
\(\Leftrightarrow\) x3+y3-x2y-xy2\(\geq\)0
\(\Leftrightarrow\) (x3-x2y) + (y3-xy2) \(\geq\)0
\(\Leftrightarrow\) x2(x-y) - y2(x-y) \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (x-y)(x2-y2) \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (x-y)(x-y)(x+y) \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (x-y)2(x+y) \(\geq\) 0 (1)
Ta có (x-y)2\(\geq\)0, x+y >0(vì x>0,y>0)
Nên bất phương trình (1); (x-y)2(x+y) \(\geq\) 0(luôn đúng)(**)
Từ(*) và (**) suy ra BĐT được chứng minh:
x3+y3\(\geq\) x2y+xy2, \(\forall\)x\(\geq\)0,\(\forall\)y\(\geq\)0
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y.
NP
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 6 2021
Lời giải:
$x^5+y^5+z^5=(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)-[x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)]$
Mà:
$x^3+y^3+z^3=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3$
$=(-z)^3-3xy(-z)+z^3=3xyz$
Và:
\(x^2(y^3+z^3)+y^2(x^3+z^3)+z^2(x^3+y^3)\)
\(=x^2y^2(x+y)+y^2z^2(y+z)+z^2x^2(z+x)=-x^2y^2z-y^2z^2x-x^2y^2z\)
\(=-xyz(xy+yz+xz)=-xyz[\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}]=\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)
Do đó: \(x^5+y^5+z^5=3xyz(x^2+y^2+z^2)-\frac{xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{5xyz(x^2+y^2+z^2)}{2}\)
\(\Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)\)
Ta có đpcm.
NT
1
DT
26 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Cô-si với 2 số ko âm,ta có:
x^2+y^2>=2xy
y^2+16>=8y
x^2+16>=8y
suy ra 2(x^2+y^2+16)>=2xy+8x+8y
suy ra x^2+y^2+16>=xy+4x+4y
NM
2
16 tháng 5 2023
Anh gửi riêng phần phân tích này
\(x^6-2x^5y+2xy^5+y^6=\left(x^2+y^2\right)\left(x^4-x^2y^2+y^4\right)-2xy\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)=\left(x^2+y^2\right).\left(x^4-x^2y^2+y^4-2xy\left(x^2-y^2\right)\right)=\left(x^2+y^2\right)\left(\left(x^4-2x^2y^2+y^4\right)-2xy\left(x^2-y^2\right)+x^2y^2\right)\)Viết tiếp cái ngoặc to thành bình phương là ra cái anh vt chỗ trên đầu nhé
Thử xem có đc ko
16 tháng 5 2023
Vẫn đề đó hả em
Câu này dùng BĐT Schur là ra luôn cx đc, nhưng mà thế thì hơi mất hứng, anh thử đề xuất phương án này ha
VT=\(cyc\sum x^5.\left(x-y+z\right)\) Gấp đôi vế trái lên và phá ngoặc ra nhóm về kiểu này
2.VT=(x^6-2x^5y+2xy^5+y^6)+.......tương tự như thế ha
Giờ chỉ cần mỗi cái ngoặc này >=0 là cả lũ >=0 do tương tự
Mà \(x^6-2x^5y+2xy^5+y^6=\left(x^2+y^2\right).\left(x^2-xy-y^2\right)^2\) (Cái này em nhóm 2 cái cuối, 2 cái giữa xong triển khai ra là đc)
Dễ thấy x^2+y^2>=0, cái ngoặc kia là bình phương cũng >=0
Do đó cái TH kia >=0. Các th còn lại thì cx tương tự
Cộng vế với vế suy ra 2VT>=0, Hay VT>=0 (đpcm)
tìm trc khi hỏi Câu hỏi của Nguyễn Thúy Hường - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath