Question

[ĐỨC SEX]

Chứng minh rằng: 3n + 1 và 4n + 1 (n thuộc N) là 2 nguyên tố cùng nhau.

CẢM ƠN Ạ!!!

Answer 1

[Đỗ Đức Duy]

1. Giả sử 3n + 1 và 4n + 1 không là 2 số nguyên tố cùng nhau. Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên dương k lớn hơn 1 sao cho k là ước chung của cả 3n + 1 và 4n + 1.

   Vì k là ước chung của cả 3n + 1 và 4n + 1, ta có:
   3n + 1 = ak (với a là một số nguyên)
   4n + 1 = bk (với b là một số nguyên)

   Từ đó, ta suy ra:
   4(3n + 1) - 3(4n + 1) = 4ak - 3bk
   12n + 4 - 12n - 3 = k(4a - 3b)
   1 = k(4a - 3b)

   Vì 1 là số nguyên tố duy nhất có 2 ước là 1 và chính nó, nên k phải bằng 1 hoặc -1.

   Nếu k = 1, ta có: 4a - 3b = 1
   Nếu k = -1, ta có: 4a - 3b = -1

   Trong cả hai trường hợp, ta đều có phương trình tuyến tính với ẩn a và b. Tuy nhiên, không thể tìm được giá trị nguyên của a và b để phương trình này đúng.

   Do đó, giả sử ban đầu là sai. Vậy ta kết luận rằng 3n + 1 và 4n + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

   9:38
2.  

Answer 2

[Nguyễn Gia Khánh]

Gọi ƯCLN(3n+1,4n+1) là d (d khác 0)

=> \(3n+1⋮d;4n+1⋮d\) 

=> \(4\left(3n+1\right)⋮d;3\left(4n+1\right)⋮d\) 

=> \(12n+4⋮d;12n+3⋮d\) 

=> \(\left(12n+4\right)-\left(12n+3\right)⋮d\) 

=> \(1⋮d\) 

=> \(d=1\) 

Vậy 3n+1; 4n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau