Cho a , b , c là các dương . Chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ac}\ge a+b+c\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 6 2020
Ta có:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) ( luôn đúng )
Áp dụng:
\(G=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)
\(\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab}+\frac{bc\left(b+c\right)}{2bc}+\frac{ca\left(c+a\right)}{2ca}\)
\(=\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\)
\(=a+b+c=2019\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=673
TT
3
TN
20 tháng 11 2016
Ta cm \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Áp dụng vào bài ta có:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{2ab}\ge\frac{a+b}{2}\)
Tương tự ta cũng được:
\(\frac{b^3+c^3}{2bc}\ge\frac{b+c}{2};\frac{c^3+a^3}{2ac}\ge\frac{c+a}{2}\)
Cộng theo vế ta có: \(VT\ge\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=VP\)
Dấu = khi a=b=c
P/s: Ngoài ra có thể dùng Bđt AM-GM
KN
11 tháng 3 2020
Làm cách khác mà không biết có đúng không!!! Thật sự là bài này tự nghĩ chứ không tham khảo ở đâu!!!
\(VT=\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2a}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2b}+\frac{c^2}{2a}+\frac{a^2}{2c}\)
\(=\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{c^2+a^2}{2b}+\frac{a^2+b^2}{2c}\)
\(\ge\frac{2bc}{2a}+\frac{2ca}{2b}+\frac{2ab}{2c}=\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\)
Ta đi chứng minh \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Thật vậy: \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc.ca}{ab}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca.ab}{bc}}=2a\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\)
Cộng từng vế của các bđt trên:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Vậy \(\text{Σ}_{cyc}\frac{a^3+b^3}{2ab}\ge a+b+c\)
Dấu "=" khi a = b = c
16 tháng 8 2019
Làm tạm một câu rồi đi chơi, lát làm cho.
4)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
5 tháng 3 2021
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có ngay :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2\sqrt{b^2}=2\left|b\right|=2b\)( do b > 0 )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)(1) ( như a) đấy :)) )
tương tự : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)(2) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)(3)
Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
c) \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)
\(=\frac{a^3}{2ab}+\frac{b^3}{2ab}+\frac{b^3}{2bc}+\frac{c^3}{2bc}+\frac{c^3}{2ca}+\frac{a^3}{2ca}\)
\(=\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2a}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2b}+\frac{c^2}{2a}+\frac{a^2}{2c}\)(I)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\left(I\right)\ge\frac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{2b+2a+2c+2b+2a+2c}=\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=a+b+c\)
hay \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
14 tháng 6 2021
BĐT cần CM tương đương:
\(3-VT\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2bc-a\left(b+c\right)}{a^2+2bc}+...\ge1\) (1)
\(VT\left(1\right)=\frac{\left[a^2+2bc-a\left(b+c\right)\right]^2}{\left(a^2+2bc\right)\left[a^2+2bc-a\left(b+c\right)\right]}+...\)
\(\ge\frac{\left[a^2+2bc-a\left(b+c\right)+b^2+2ca-b\left(c+a\right)+c^2+2ab-c\left(a+b\right)\right]^2}{\left(a^2+2bc\right)\left[a^2+2bc-a\left(b+c\right)\right]+...}\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+2bc\right)\left[a^2+2bc-a\left(b+c\right)\right]+...}\) (2)
Ta cần chứng minh mẫu của (2) \(\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
... Tự biến đổi ra thôi thi ta được 1 biểu thức không âm luôn đúng
=> BĐT trên đúng
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
áp dụng nè \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
Bạn tham khảo câu trả lời tại đây:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/63983977591.html
Câu hỏi của Tran Toan - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath