Question

[Hưng]

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm (O) . Đường tròn tâm (O') đi qua O và B cắt BC,OA,AB lần lượt tại M,N,K . Đường tròn (O') cắt cung AB tại E , EM cắt đường tròn (O) tại I

a) Chứng minh tam giác MBI cân tại M

b) Chứng minh IM=KA 

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Ta có ^BME = ^BOE = 2.^BIE (= 2.^BIM) => ^BIM = ^MBI = ^BME/2 => \(\Delta\)MBI cân tại M (đpcm).

b) Ta dễ thấy ^KNA = ^OBA = ^OAB (= 30⁰) => \(\Delta\)NKA cân tại K => KA = KN (1)

Lại có ^BEN = 180⁰ - ^BON = 60⁰ = ^CAB = ^BEC => Tia EN trùng tia EC hay N,E,C thẳng hàng

Từ đó ^CMN = ^BEC = 60⁰ = ^CBA => MN // BK

Mà tứ giác BMNK nội tiếp (O') nên KN = BM = IM (Vì \(\Delta\)MBI cân tại M)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra IM = KA (đpcm).