CM CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SAU
A) \(2\left(A^2+B^2\right)\ge\left(A+B\right)^2\ge2\left(AB+BA\right)\)
B) \(3\left(A^2+B^2+C^2\right)\ge\left(A+B+C\right)^2\ge3\left(AB+BC+CA\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MV
23 tháng 4 2017
A)
\(2\left(A^2+B^2\right)\ge\left(A+B\right)^2\ge2\left(AB+BA\right)\\ \Leftrightarrow2A^2+2B^2\ge A^2+2AB+B^2\ge2AB+2BA\)
\(2A^2+2B^2\ge A^2+2AB+B^2\\ \Leftrightarrow A^2+B^2\ge2AB\\ \Leftrightarrow A^2+B^2-2AB\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(A-B\right)^2\ge0\) (LUÔN ĐÚNG) (1)
\(A^2+2AB+B^2\ge2AB+2BA\\ \Leftrightarrow A^2+B^2\ge2BA\\ \Leftrightarrow A^2+B^2-2BA\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(A-B\right)^2\ge0\) (LUÔN ĐÚNG) (2) Từ (1), (2) ta có: \(2A^2+2B^2\ge A^2+2AB+B^2\ge2AB+2BA\\ \Leftrightarrow2\left(A^2+B^2\right)\ge\left(A+B\right)^2\ge2\left(AB+BA\right)\left(đpcm\right)\)
TN
29 tháng 11 2016
1)Áp dụng Bđt Am-Gm \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)
2)Áp dụng Am-Gm \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab;b^2+c^2\ge2bc;a^2+c^2\ge2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
=>ĐPcm
3)(a+b+c)2\(\ge\)3(ab+bc+ca)
=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca\(\ge\)3ab+3bc+3ca
=>a2+b2+c2-ab-bc-ca\(\ge\)0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)\(\ge\)0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge\)0
4)đề đúng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
5 tháng 5 2019
* Chứng minh :
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) (*)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Do đó : \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) \(\left(1\right)\)
* Chứng minh :
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) đến đây chứng minh giống chỗ (*)
...
Do đó : \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra : \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) ( đpcm )
12 tháng 4 2018
a) Áp dụng Cauchy-Schwarz:
\(\left(a+b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)=2\left(a^2+b^2\right)\)
b) Áp dụng AM-GM:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\a^2+c^2\ge2ac\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2ab+2bc+2ac\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (cm ở trên r nên khỏi cm lại đi)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow3\left(ab+bc+ac\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)
Kết hợp 2 điều trên:\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
KK
12 tháng 4 2018
a)2(a2+b2) ≥ (a+b)2
⇔ 2a2+2b2 ≥ a2+2ab+b2
xét hiệu
⇔ 2a2+2b2-a2-2ab-b2 ≥ 0
⇔ a2-2ab+b2 ≥ 0
⇔ (a-b)2 ≥ 0 (luôn đúng )
=> đpcm
27 tháng 3 2018
a)\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
b,c tương tự
d)Áp dụng bđt AM-GM ta được
\(a^4+a^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4a^4b^4c^4}=4a^2bc\)
TT\(\Rightarrow a^4+b^4+b^4+c^4\ge4ab^2c\)
\(a^4+b^4+c^4+c^4\ge4abc^2\)
Cộng vế theo vế ta được \(4\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge4\left(a^2bc+ab^2c+abc^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\left(đpcm\right)\)
ND
27 tháng 3 2018
d)
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-a^2bc-ab^2c-abc^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+2a^2b^2+\left(b^2-c^2\right)^2+2b^2c^2+\left(c^2-a^2\right)^2+2a^2c^2-2a^2bc-2b^2ac-2c^2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(b^2-c^2\right)^2+\left(c^2-a^2\right)^2+\left(a^2b^2+b^2c^2-2b^2ac\right)+\left(b^2c^2+c^2a^2-2c^2abc\right)+\left(a^2b^2+c^2a^2-2a^2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(b^2-c^2\right)^2+\left(c^2-a^2\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ac\right)^2+\left(ab-ac\right)^2\ge0\)
Luôn đúng với mọi a , b , c
1 tháng 1 2018
Other way:\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(đúng)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
