Cho a,b,c thõa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
Tính giá trị của biểu thức \(A=\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 12 2020
Bài làm
Ta có : a3 + b3 + c3 = 3abc
<=> ( a3 + b3 ) + c3 - 3abc = 0
<=> ( a + b )3 - 3ab( a + b ) + c3 - 3abc = 0
<=> [ ( a + b )3 + c3 ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0
<=> ( a + b + c )[ ( a + b )2 - ( a + b )c + c2 ] - 3ab( a + b + c ) = 0
<=> ( a + b + c )( a2 + 2ab + b2 - ac - bc + c2 - 3ab ) = 0
<=> ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\end{cases}}\)
Vì a, b, c dương => a + b + c > 0 => a + b + c = 0 vô lí
Xét a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac = 0
<=> 2( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac ) = 2.0
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( a2 - 2ac + c2 ) = 0
<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c )2 = 0
VT ≥ 0 ∀ a,b,c . Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\a=c\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
=> \(P=\left(\frac{a}{b}-1\right)+\left(\frac{b}{c}-1\right)+\left(\frac{c}{a}-1\right)=\left(\frac{a}{a}-1\right)+\left(\frac{b}{b}-1\right)+\left(\frac{c}{c}-1\right)\)
\(=\left(1-1\right)+\left(1-1\right)+\left(1-1\right)\)
\(=0\)
2 tháng 11 2016
Do \(a,b,c\) là các số dương suy ra:
\(a>0;b>0;c>0\)
Suy ra: \(a+b+c>0\)
Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2-3ab\left(a+b+c\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Rightarrow a+b+c=0\) hoặc \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
Do \(a+b+c>0\)
Suy ra: \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Suy ra: \(a-b=0;b-c=0\) và \(c-a=0\)
Suy ra: \(a=b=c\)
Suy ra: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1\)
Ta có: \(\left(\frac{a}{b}-1\right)+\left(\frac{b}{c}-1\right)+\left(\frac{c}{a}-1\right)=\left(1-1\right)+\left(1-1\right)+\left(1-1\right)=0\)
Vậy ...
2 tháng 11 2016
Sau khi giải bài này xong mình cảm thấy hoa mắt và chóng mặt, mong GP sẽ gấp đôi :)
TT
7 tháng 3 2020
Ồ sorry bạn nhiều, chỗ đấy bị lỗi kĩ thuật rồi, mình sửa lại nhé :
\(M\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Lại có : \(\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt{a^3b^3c^3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Do đó : \(M\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
TT
7 tháng 3 2020
Ta có : \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{a\left(b+c\right)}=\frac{\left(\frac{1}{a}\right)^2}{a\left(b+c\right)}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^3\left(a+c\right)}=\frac{\left(\frac{1}{b}\right)^2}{b\left(a+c\right)}\) , \(\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\left(\frac{1}{c}\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)
Ta thấy : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(M=\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\) \(\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vâỵ \(M_{min}=\frac{3}{2}\) tại \(a=b=c=1\)
7 tháng 2 2021
Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-\left[3ab\left(a+b\right)+3abc\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
Nếu \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Khi đó \(A=2^3=8\)
Nếu \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c;b+c=-a;c+a=-b\)
Thay vào ta được:
\(A=\frac{a+b}{b}\cdot\frac{b+c}{c}\cdot\frac{c+a}{a}=\frac{-abc}{abc}=-1\)
Vậy A = 8 hoặc A = -1
Ta có \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}=\frac{c-\left(a+b+c\right)}{c\left(a+b+c\right)}=\frac{-a-b}{c\left(a+b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\) \(c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)+ab\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)\left(ca+cb+c^2+ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a+b=0\\b+c=0\\c+a\end{cases}}=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^3=-b^3\\b^3=-c^3\\c^3=-a^3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^3+b^3=0\\b^3+c^3=0\\c^3+a^3=0\end{cases}}}\)
(ko có kí hiệu hoặc cho 3 cái nên mk dùng kí hiệu và nhé)
Do đó \(A=\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)=0\)
em mới học lớp 5 nên ko giúp đc gì, mong chị tha lỗi. chúc chị học giỏi nha