Giả sử p,q là hai số nguyên tố thoả mãn đồng thời các điều kiện p>q>3, p - q =2 . Chứng minh rằng: p^3 + q^3 chia hết cho 36
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
L
0
NT
1
2 tháng 11 2015
Vì p-q=2 nên p=q+2
Lại có p>q>3 nên q=3k+1, 3k+2 ( k là stn và k>0 )
Loại q=3k+1 vì nếu q=3k+1 thì p=3(k+1) chia hết cho 3 là hợp số( vô lý)
Vậy q=3k+2 nên p=3(k+1)+1
Đặt k=2m, 2m+1
Nếu k=2m thì q=3(2m+1)+1. Mà 3(2m+1) là số lẻ nên q chẵn. Mà q là số nguyên tố và q>2 nên q lẻ ( vô lý)
Vậy k=2m+1
Khi đó p+q=3(2m+1)+2+3(2m+2)+1= 6m +5 + 6m + 7 = 12m+12 =12(m+1) chia hết cho 12
24 tháng 1 2022
Điều kiện đề bài ⇒(2c)2=(a+c)(b+c)⇒(2c)2=(a+c)(b+c). Gọi d=gcd(a+c,b+c)d=gcd(a+c,b+c) thì do a−b=p∈Pa−b=p∈P nên d=1d=1hoặc d=pd=p
Nếu d=1d=1 thì a+c=x2,b+c=y2a+c=x2,b+c=y2 ( xy=2cxy=2c)
⇒p=(x−y)(x+y)⇒p=(x−y)(x+y). p=2p=2 thì vô lý. pp lẻ thì dễ thấy x=p+12=a−b+12x=p+12=a−b+12 và y=a−b−12y=a−b−12
⇒2c=xy=(a−b−1)(a−b+1)4⇒8c+1=(a−b)2⇒2c=xy=(a−b−1)(a−b+1)4⇒8c+1=(a−b)2 là scp
Nếu d=pd=p thì a+c=pm2,b+c=pn2a+c=pm2,b+c=pn2 ( 2c=pmn2c=pmn)
⇒(m−n)(m+n)=1→m=1,n=0⇒(m−n)(m+n)=1→m=1,n=0 (loại)
TT
0
HN
1
Lại có p>q>3 nên q=3k+1, 3k+2 ( k là stn và k>0 )
Loại q=3k+1 vì nếu q=3k+1 thì p=3(k+1) chia hết cho 3 là hợp số( vô lý)
Vậy q=3k+2 nên p=3(k+1)+1
Đặt k=2m, 2m+1
Nếu k=2m thì q=3(2m+1)+1. Mà 3(2m+1) là số lẻ nên q chẵn. Mà q là số nguyên tố và q>2 nên q lẻ ( vô lý)
Vậy k=2m+1
Suy ra \(q^3+p^3=18k^3+162k^2+180k+72\)
Dễ thấy \(180k+72⋮36\)
Cần cm \(18k^3+162k^2⋮36\)
Dễ thấy \(18k^3+162k^2\) chia hết cho 9 (1)
Vì m là số lẻ nên m chia 4 dư 1 hoặc 3
Xét 2 trường hợp suy ra \(18k^3+162k^2\) chia hết cho 4 (2)
Từ (1),(2) và 4 và 9 là 2 số nguyên tố cùng nhau
Suy ra \(18k^3+162k^2⋮36\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Từ đoạn Suy ra q3+p3=18k3+162k2+180k+72 mình viết nhầm m thành k :))))))))