Question

[Minh Hiếu]

Tìm a,b,c ∈ Z⁺ sao cho:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\\b^2+1\end{matrix}\right.\) đều là số nguyên tố và đồng thời \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=c^2+1\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Với \(a=b\) thì \(\left(a^2+1\right)^2\) và \(c^2\) là 2 số tự nhiên liên tiếp đều chính phương nên \(c=0;a^2+1=1\) (ktm)

Với \(a\ne b\), ko mất tính tổng quát giả sử \(a< b\)

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=c^2+1\Leftrightarrow a^2\left(b^2+1\right)=\left(c-b\right)\left(c+b\right)\) (1)

Mà \(b^2+1\) là SNT \(\Rightarrow c-b\) hoặc \(c+b\) chia hết \(b^2+1\)

Do \(a< b\Rightarrow\left(b^2+1\right)^2>c^2+1\Rightarrow b^2>c\) (2)

Nếu \(c-b\) chia hết \(b^2+1\Rightarrow c-b\ge b^2+1\Rightarrow c\ge b^2+b+1>b^2\) mâu thuẫn (2)

\(\Rightarrow c+b\) chia hết \(b^2+1\) \(\Rightarrow c+b=k\left(b^2+1\right)\Rightarrow k\left(b^2+1\right)< b^2+b\)

\(\Rightarrow k< \dfrac{b^2+b}{b^2+1}< 2\Rightarrow k=1\)

\(\Rightarrow c=b^2-b+1\)

Thế vào (1) \(\Rightarrow a^2\left(b^2+1\right)=\left(b-1\right)^2\left(b^2+1\right)\Rightarrow a^2=\left(b-1\right)^2\)

\(\Rightarrow a=b-1\)

\(\Rightarrow\left(b-1\right)^2+1\) và \(b^2+1\) cùng là số nguyên tố

- Với \(b=1\) không thỏa

- Với \(b=2\) thỏa

- Với \(b>2\) do \(b^2+1\) nguyên tố \(\Rightarrow b^2+1\) lẻ \(\Rightarrow b\) chẵn

\(\Rightarrow\left(b-1\right)^2+1\) chẵn \(\Rightarrow\) ko là SNT \(\Rightarrow\) không thỏa

Vậy \(b=2;a=1;c=3\)