Question

[Song Lam Diệp]

Cho tam giác ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: ae=bc

Answer 1

[oOo Lê Việt Anh oOo]

+ Xét tứ giác ABDC có 
MA=MD và MB=MC => tứ giác ABDC là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành) 
Mà ta lại có ^BAC=90 
=> Hình bình hành ABDC là hình chữ nhật 
+ Kéo dài BA về phía A cắt EI tại F. Xét tứ giác ACIF có 
AF cuông góc với AC 
CI vuông góc với AC (do ABDC là hình chữ nhật) 
=> AF//CI. mà IF//AC => ACIF là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối // từng đôi một) 
Mà CI vuông góc AC => ACIF là hình chữ nhật 
=> AF=CI mà CI=AC => AF=AC (1) 
+ Xét tam giác vuông ABC ta có MA=MB=MC (trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng 1/2 cạnh huyền) => tam giác MAC cân tại M => ^ACB=^MAC 
Mà ^ACB=^BAH (cùng phụ với ^ABC) 
=>^MAC=BAH mà ^BAH=^EAF (đối đỉnh) => ^EAF=^MAC (2) 
+ Xét hai tam giác vuông AEF và tam giác vuông ADC có 
^AFE=^ACD=90 (3) 
Từ (1) (2) và (3) => tam giác AEF=tam giác ADC (g.c.g) 
=> AE=AD 
Mà AD=BC (đường chéo của hình chữ nhật ABDC) 
=> AE=BC (dpcm)