Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a^{11}}{bc}+\dfrac{b^{11}}{ca}+\dfrac{c^{11}}{ab}\ge\dfrac{a^6+b^6+c^6+9}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DH
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 8 2021
\(1+\dfrac{9}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge1+\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}}=\dfrac{6}{a+b+c}\)
25 tháng 6 2023
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có:
(a2 + b2) + (b2 + c2) + (c2 + a2) ≥ 2ab + 2bc + 2ca
=> 2(a2 + b2 + c2 ) ≥ 2 (ab + bc + ca) (1) (a2 + 1) + (b2 + c2) + (c2 + a2) ≥ 2a + 2b + 2c
=> a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c) (2)
Cộng các vế của (1) và (2) ta có:
3 ( a2 + b2 + c2 ) + 3 ≥ 2 (ab + bc + ca + a + b + c)
=> 3( a2 + b2 + c2 ) + 3 ≥ 12 => a2 + b2 + c2 ≥ 3.
Ta có: (a^3/b + ab ) + ( b^3/c + bc ) + ( c^3/a + ca)≥ 2(a2 + b2 + c2) (CÔ SI)
<=>a^3/b + b^3/c + c^3/a +ab + bc + ac ≥ 2(a2 + b2 + c2)
Vì a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca => a^3 + b^3 + c^3 ≥ a2 + b2 + c2 ≥ 3 (đpcm).
TA
25 tháng 6 2023
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương ta có:
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) (1)
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\ge2a+2b+2c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\) (2)
Cộng (1) với (2)
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge12\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Ta có: \(\left(\dfrac{a^3}{b}+ab\right)+\left(\dfrac{b^3}{c}+bc\right)+\left(\dfrac{c^3}{a}+ca\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\) (đpcm).
T
14 tháng 6 2019
11/Theo BĐT AM-GM,ta có; \(ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)\(=\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự với hai BĐT kia,cộng theo vế và rút gọn ta được đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi a= b=c
T
14 tháng 6 2019
Ơ vãi,em đánh thiếu abc dưới mẫu,cô xóa giùm em bài kia ạ!
9/ \(VT=\frac{\Sigma\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(=\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8+abc+\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\le\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+9+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}\)
\(=\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}=1\left(Q.E.D\right)\)
"=" <=> a = b = c = 1.
Mong là lần này không đánh thiếu (nãy tại cái tội đánh ẩu)
24 tháng 6 2021
`a)1/7xx2/7+1/7xx5/7+6/7`
`=1/7xx(2/7+5/7)+6/7`
`=1/7xx1+6/7`
`=1/7+6/7=1`
`b)6/11xx4/9+6/11xx7/9-6/11xx2/9`
`=6/11xx(4/9+7/9-2/9)`
`=6/11xx9/9`
`=6/11`
24 tháng 6 2021
Sorry nãy ghi thiếu.
`c)4/25xx5/8xx25/4xx24`
`=(4xx5xx25xx24)/(25xx8xx4)`
`=(4xx5xx24)/(4xx8)`
`=(5xx24)/8`
`=5xx3=15`
N
19 tháng 10 2017
Áp dụng AM-GM: \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le a.\dfrac{b-1+1}{2}+b.\dfrac{a-1+1}{2}=ab\)
\(VT\ge\dfrac{6}{ab}+\sqrt{3ab+4}\)
( dự đoán dấu = xảy ra khi a=b=2)
Áp dụng cauchy-schwarz:
\(\dfrac{6}{ab}=\dfrac{18}{3ab}+\dfrac{2}{4}-\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)^2}{3ab+4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{32}{3ab+4}-\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng AM-GM một lần nữa:
\(VT\ge\dfrac{32}{3ab+4}+\sqrt{3ab+4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{32}{3ab+4}+\dfrac{\sqrt{3ab+4}}{2}+\dfrac{\sqrt{3ab+4}}{2}-\dfrac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{32}{4}}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{2}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=2
P/s: Nothing
