Tìm tất cả các số nguyên dương m,n thỏa mãn \(9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
0
ZH
0
D
0
TT
0
12 tháng 3 2021
Ta có:
\(n^5+n^4-2n^3-2n^2+1=p^k\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\)
Từ gt \(\Rightarrow n,k\ge2\)
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}n^3-n-1>1;n^2+n-1>1,\forall n\ge2\\\left(n^3-n-1\right)-\left(n^2+n-1\right)=\left(n+1\right)n\left(n-2\right)\ge0,\forall n\ge2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3-n-1=p^r\\n^2+n-1=p^s\end{matrix}\right.\) trong đó \(\left\{{}\begin{matrix}r\ge s>0\\r+s=k\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow n^3-n-1-\left(n-1\right)\left(n^2+n-1\right)⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\) (1)
Mặt khác:
\(\left(n^2+n-1\right)-\left(n-2\right)=n^2+1>0,\forall n\)
\(\Rightarrow n^2+n-1>n-2\ge0,\forall n\ge2\) (2)
Từ (1) và (2) => n=2 => \(p^k=25\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=5\\k=2\end{matrix}\right.\)
Vậy bộ số (n,k,p)=(2,2,5)
12 tháng 3 2021
\(...\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\).
Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}n^2+n-1=p^v\\n^3-n-1=p^u\end{matrix}\right.\left(v,u\in N;v+u=k\right)\).
+) Với n = 2 ta có \(p^k=25=5^2\Leftrightarrow p=5;k=2\)
+) Với n > 2 ta có \(n^3-n-1>n^2+n-1\Rightarrow v>u\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n-1\right)+n-2⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n+3\right)⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow6⋮n^2+n-1\).
Không tồn tại n > 2 thoả mãn
Vậy...
12 tháng 3 2021
Ta có:
\(n^5+n^4-2n^3-2n^2+1=p^k\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\)
Từ giả thiết \(\Rightarrow n,k\ge2\)
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}n^3-n-1>1,n^2+n-1>1,\forall n\ge2\\\left(n^3-n-1\right)-\left(n^2+n-1\right)=\left(n+1\right)n\left(n-2\right)\ge0,\forall n\ge2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^3-n-1=p^r\\n^2+n-1=p^s\end{cases}}\) trong đó \(\hept{\begin{cases}r\ge s\ge0\\r+s=k\end{cases}}\)
\(\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow n^3-n-1-\left(n-1\right)\left(n^2+n-1\right)⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\) (1)
Mặt khác :
\(\left(n^2+n-1\right)-\left(n-2\right)=n^2+1>0,\forall n\)
\(\Rightarrow n^2+n-1>n-2\ge0,\forall n\ge2\) (2)
Từ (1) và (2) => n=2 => \(p^k=25\Rightarrow\hept{\begin{cases}p=5\\k=2\end{cases}}\)
Vậy bộ số cần tìm là (n,k,p)=(2,2,5)
B
Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn 2n+11 chia hết cho 2k-1.
1
DD
29 tháng 6 2023
Để tìm tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện đã cho, ta sẽ giải phương trình theo n.
2n + 11 chia hết cho 2k - 1 có nghĩa là tồn tại một số nguyên dương m sao cho:
2n + 11 = (2k - 1)m
Chuyển biểu thức trên về dạng phương trình tuyến tính:
2n - (2k - 1)m = -11
Ta nhận thấy rằng nếu ta chọn một số nguyên dương nào đó, ta có thể tìm được một số nguyên dương k tương ứng để phương trình trên có nghiệm. Do đó, ta chỉ cần tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn phương trình trên.
Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid mở rộng (Extended Euclidean Algorithm). Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể tìm được một số giá trị n và k thỏa mãn phương trình bằng cách thử từng giá trị của n và tính giá trị tương ứng của k.
Dưới đây là một số cặp giá trị n và k thỏa mãn phương trình đã cho:
(n, k) = (3, 2), (7, 3), (11, 4), (15, 5), (19, 6), …
Từ đó, ta có thể thấy rằng có vô số giá trị n và k thỏa mãn phương trình đã cho.
