Cho x,y,z thực dương thoả x^2+y^2+z^2=3xyz
CMR x^2/y+2 + y^2/z+2 + z^2/x+2 >/ 1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DT
28 tháng 6 2021
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x và \(\sqrt{1-y^2}\) có:
x\(\sqrt{1-y^2}\) ≤ \(\dfrac{x^2+1-y^2}{2}\)
Tương tự: \(y\sqrt{1-z^2}\le\dfrac{y^2+1-z^2}{2}\); \(z\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{z^2+1-x^2}{2}\)
=> \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{x^2+1-y^2+y^2+1-z^2+z^2+1-x^2}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) => x2 = y2 = z2 = \(\dfrac{1}{2}\)
=> x2 + y2 + z2 = 3x2 = 3.\(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{3}{2}\)
14 tháng 9 2018
ta co: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}.\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=0\)
=> x + y + z = 0
Lai co: x3 + y3 +z3 - 3xyz = (x+y+z).(x2+y2+z2 - xy - yz - zx)
x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
=> x3 + y3 + z3 = 3xyz
14 tháng 9 2018
ta co: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}.\)
=> 1/xy + 1/yz + 1/xz = 0
=> x + y + z = 0
Lai co: x3 + y3 +z3 - 3xyz = (x+y+z).(x2+y2+z2 - xy - yz - zx)
x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
=> x3 + y3 + z3 = 3xyz
KK
7 tháng 6 2017
\(\Sigma\left(\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(1-\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\right)\le3\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}\right)\le3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^5+y^2+z^2}+\dfrac{1}{y^5+x^2+z^2}+\dfrac{1}{z^5+x^2+y^2}\le\dfrac{3}{x^2+y^2+z^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky
\(\Rightarrow\left(x^5+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x}+y^2+z^2\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^5+y^2+z^2}\le\dfrac{\dfrac{1}{x}+y^2+z^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^5+y^2+z^2}+\dfrac{1}{y^5+x^2+z^2}+\dfrac{1}{z^5+x^2+y^2}\le\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Chứng minh rằng \(\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\le\dfrac{3}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\le\dfrac{x^2+y^2+z^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le x^2+y^2+z^2\) ( vì \(xyz=1\) )
\(\Leftrightarrow xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\) ( luôn đúng theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy )
\(\Rightarrow\) đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
8 tháng 5 2021
* Có BĐT : \(\dfrac{4}{x+y}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) với $x,y>0$ ( Chứng minh bằng xét hiệu )
Ta có BĐT : \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow\dfrac{x+y}{x^2+y^2}\le\dfrac{2\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{2}{x+y}\)
Chứng minh tương tự khi đó :
\(P\le\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{2}{y+z}+\dfrac{2}{z+x}\)
\(\Rightarrow2P\le\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{4}{y+z}+\dfrac{4}{z+x}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=2.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=4032\)
\(\Rightarrow P\le2016\)
bạn tự cm x+y+z=0 đi rồi làm tiếp
dễ dàng CM: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow3xyz\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le3\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{x^2}{y+2}+\frac{y+2}{9}+\frac{x}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^2}{y+2}.\frac{y+2}{9}.\frac{x}{3}}=x\)
CM tương tự với các phân số còn lại rồi cộng vế theo vế ta được:
\(P\ge x+y+z-\frac{x+2}{9}-\frac{y+2}{9}-\frac{z+2}{9}-\frac{x}{3}-\frac{y}{3}-\frac{z}{3}\)
\(=\frac{5}{9}\left(x+y+z\right)-\frac{2}{3}\)
Phải CM: \(\frac{5}{9}\left(x+y+z\right)-\frac{2}{3}\ge1\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Mặt khác lại có: \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{9}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\ge\frac{9}{3}=3\)
Vậy \(x+y+z\ge3\)
Vậy BĐT ban đầu đã được CM
hay ...>=1