Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m (1+m²)x⁵-3x-1=0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2022
Đặt \(f\left(x\right)=5x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6\)
Hàm số liên tục trên R
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(5x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6\right)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(5+\dfrac{2m-1}{x}+\dfrac{m+6}{x^3}\right)=-\infty< 0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(a< 0\) sao cho \(f\left(a\right)< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left(5+\dfrac{2m-1}{x}+\dfrac{m+6}{x^3}\right)=+\infty.5=+\infty>0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(b>0\) sao cho \(f\left(b\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b) với mọi m
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2022
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+m+4\right)x^{2017}-2x+1\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R
\(f\left(0\right)=1>0\)
\(m^2+m+4=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}>0\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[\left(m^2+m+4\right)x^{2017}-2x+1\right]=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^{2017}\left[\left(m^2+m+4\right)-\dfrac{2}{x^{2016}}+\dfrac{1}{x^{2017}}\right]=-\infty< 0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số âm \(a< 0\) sao cho \(f\left(a\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(0\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(a;0\right)\)
Hay pt đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi m
HP
31 tháng 5 2021
\(x^{2^{ }}+2\left(m-1\right)x-6m-7=0\left(1\right)\)
a) \(Dental=\left[2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-6m-7\right)\)
\(< =>4\cdot\left(m^2-2m+1\right)+24m+28\)
\(< =>4m^2-8m+4+24m+28\)
\(< =>4m^2+16m+32\)
\(< =>\left(2m+4\right)^2+16>0\) với mọi m
Vậy phương (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Theo định lí vi ét ta có:
x1+x2= \(\dfrac{-2\left(m-1\right)}{1}=-2m+1\)
x1x2= \(-6m-7\)
NP
22 tháng 4 2023
quy đồng
khử mẫu
tách sao cho có tích và tổng
thay x1x2 x1+x2
kết luận
mặt xấu vl . . .
9 tháng 5 2022
\(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)\left(x+1\right)^3+x^2-x-3\) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên \(\left[-2;-1\right]\)
Ta có \(f\left(-1\right)=-1< 0\) và \(f\left(-2\right)=m^2+2>0\) nên \(f\left(-1\right)f\left(-2\right)< 0\) với mọi m.
Do đó, phương trình \(f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình \(\left(1-m^2\right)\left(x+1\right)^3+x^2-x-3=0\) luôn có nghiệm với mọi m.
4 tháng 3 2021
x2 - (2m + 3)x + 4m + 2 = 0
Có: \(\Delta\) = [-(2m + 3)]2 - 4.1.(4m + 2) = 4m2 + 12m + 9 - 16m - 8 = 4m2 - 4m + 1 = (2m - 1)2
Vì (2m - 1)2 \(\ge\) 0 với mọi m hay \(\Delta\) \(\ge\) 0
\(\Rightarrow\) Pt luôn có nghiệm với mọi m
Chúc bn học tốt!
4 tháng 3 2021
Ta có: \(\Delta=\left(2m+3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(4m+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\Delta=4m^2+12m+9-4\left(4m+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\Delta=4m^2+12m+9-16m-8\)
\(\Leftrightarrow\Delta=4m^2-4m+1\)
\(\Leftrightarrow\Delta=\left(2m-1\right)^2\ge0\forall m\)
Vậy: Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
H
5 tháng 4 2021
1. Với m=5 thì (1) có dạng
\(5x^2-5x-10=0\Leftrightarrow x^2-x-2=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-1\end{matrix}\right.\)
2. Nếu m=0 thì (1) trở thành
\(-5x-5=0\Leftrightarrow x=-1\)
Nếu m khác 0 , coi (1) là phương trình bậc 2 ẩn x, ta có:
\(\text{Δ}=\left(-5\right)^2-4\cdot m\cdot\left(-m-5\right)=4m^2+20m+25=\left(2m+5\right) ^2\ge0\)
Nên phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 4 2021
a. Bạn tự giải
b.
Với \(m=0\) pt có nghiệm \(x=-1\) (thỏa mãn)
Với \(m\ne0\)
\(\Delta=25+4m\left(m+5\right)=4m^2+20m+25=\left(2m+5\right)^2\ge0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) Pt đã cho luôn có nghiệm với mọi m
