Cho x , y là hai số dương . Chứng minh rằng \(\sqrt{x}+\sqrt{y}>\sqrt{x+y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 7 2017
Vì x > y nên 2 vế đều là số dương. Bình phương 2 vế được
\(x+y-2\sqrt{xy}< x-y\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{xy}-2y>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}-y>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y}.\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)>0\) (đúng)
Vậy \(\sqrt{x}-\sqrt{y}< \sqrt{x-y}\)
H
6 tháng 4 2021
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\left(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1+y+1+x\right)=x+y+2=2+\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\ge\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 7 2021
a.
\(\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 7 2021
b.
\(VP=\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+2\sqrt{4b\left(b+3c\right)}+2\sqrt{4c\left(c+3a\right)}}\)
\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{4a+a+3b+4b+b+3c+4c+c+3a}\)
\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
8 tháng 4 2021
a) Giả sử \(x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\frac{1}{3}.3\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge x^2+xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2-3xy+3y^2-x^2-xy-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-4xy+2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi \(x,y\in R\)).
Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow x=y\).
Vậy \(x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)\)với \(x,y\in R\).
8 tháng 4 2021
Đặt \(A=\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\left(x,y,z>0\right)\)
Và đặt \(B=\frac{y\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{z\sqrt{z}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{x\sqrt{x}}{z+\sqrt{zx}+x}\left(x,y,z>0\right)\)
Đặt \(\sqrt{x}=m,\sqrt{y}=n,\sqrt{z}=p\left(m,n,p>0\right)\)thì theo đề bài : \(m+n+p=2\)
Lúc đó:
\(A=\frac{m^2.m}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^2.n}{n^2+np+p^2}+\frac{p^2.p}{p^2+pm+m^2}\)
\(A=\frac{m^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3}{p^2+pm+m^2}\)
Và \(B=\frac{n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{m^3}{p^2+pm+m^2}\)
Xét hiệu \(A-B=\frac{m^3-n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3-p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3-m^3}{p^2+pm+m^2}\)
\(\Leftrightarrow A-B=\frac{\left(m-n\right)\left(m^2+mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}+\frac{\left(n-p\right)\left(n^2+np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\)\(+\frac{\left(p-m\right)\left(p^2+pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}\)
\(\Leftrightarrow A-B=\left(m-n\right)+\left(n-p\right)+\left(p-m\right)\)
\(\Leftrightarrow A-B=m-n+n-p+p-m=0\)
\(\Leftrightarrow A=B\)
Xét \(A+B=\frac{m^3+n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3+p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3+m^3}{p^2+pm+m^2}\)
\(\Leftrightarrow A+A=2A=\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+m+n^2}+\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\)\(\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}\)
Theo câu a), ta có \(x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)\)với \(x,y\in R\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}\left(1\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
Áp dụng bất đẳng thức (1) (với \(m,n>0\)), ta được:
\(\frac{m^2-mn+n^2}{m^2+mn+n^2}\ge\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}\ge\frac{m+n}{3}\left(2\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow m=n>0\)
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\ge\frac{n+p}{3}\left(3\right)\)
Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow n=p>0\)
\(\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}\ge\frac{p+m}{2}\left(4\right)\)
Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow p=m>0\)
Từ \(\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)\), ta được:
\(\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}+\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\)\(+\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2-pm+m^2}\ge\frac{m+n}{3}+\frac{n+p}{3}+\frac{p+m}{3}\)
\(\Leftrightarrow2A\ge\frac{m+n+n+p+p+m}{3}\)
\(\Leftrightarrow2A\ge\frac{2\left(m+n+p\right)}{3}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{m+n+p}{3}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{2}{3}\)(vì \(m+n+p=2\)) (điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=n=p>0\\m+n+p=2\end{cases}}\Leftrightarrow m=n=p=\frac{2}{3}\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{9}\)
Vậy nếu \(x,y,z>0\) và \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2\)thì: \(\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\ge\frac{2}{3}\).
11 tháng 7 2017
Làm biếng nghĩ quá. Chơi cách này cho mau vậy.
\(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\ge\frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{3\left(1-x\right)\left(1+x\right)}}+\frac{y}{\sqrt{3\left(1-y\right)\left(1+y\right)}}\ge\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{2-x}+\frac{y}{2-y}\ge\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1-y}{1+y}+\frac{y}{2-y}\ge\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow4y^2-4y+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2y-1\right)^2\ge0\left(đung\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 2 2020
Đặt \(\sqrt{x};\sqrt{y}=\left(a;b\right)\)
\(VT=\frac{a^2b+ab^2}{a^2+b^2}-\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab}-\frac{a^2+b^2}{2}\)
\(VT\le\frac{a+b}{2}-\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a+b}{2}-\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(a+b-1\right)^2\le\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\) hay \(x=y=\frac{1}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 2 2020
BĐT sai hoàn toàn, thử với giá trị nào cũng sai
28 tháng 2 2021
Áp dụng bđt Cô-si vào 2 số dương có:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\sqrt{xy}\ge4\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{\sqrt{xy}}=2\sqrt{4}=4\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=4\)
28 tháng 2 2021
`1/x+1/y>=2/(\sqrt{xy})`
`<=>1/2>=2/(\sqrt{xy})`
`<=>\sqrt{xy}>=4`
`=>\sqrt{x}+\sqrt{y}>=2.2=4`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=4`
Do x, y>0 nên \(\sqrt{xy}>0\)\(\Rightarrow\) \(2\sqrt{xy}>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y+2\sqrt{xy}\ge x+y\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge x+y\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge\sqrt{x+y}\)(đpcm).