Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn \(a+2b+3c=2014\).Tìm GTNN của biểu thức : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 4 2020
\(a^2b^2c^2+\left(a+1\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge a+b+c+ab+bc+ca+3\)
\(\Leftrightarrow\left(abc\right)^2+abc-2\ge0\Leftrightarrow\left(abc+2\right)\left(abc-1\right)\ge0\Leftrightarrow abc\ge1\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+2c\right)\left(2c+3a\right)}+\frac{b+2c}{45}+\frac{2c+3a}{75}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(b+2c\right)\left(2c+3b\right)}\cdot\frac{b+2c}{45}\cdot\frac{2c+3a}{75}}=\frac{a}{5}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(c+2a\right)\left(2a+3b\right)}+\frac{c+2a}{45}+\frac{2a+3b}{75}\ge\frac{b}{5}\left(2\right)\\\frac{c^3}{\left(a+2b\right)\left(2b+3c\right)}+\frac{a+2b}{45}+\frac{2b+3c}{75}\ge\frac{c}{5}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1)(2)(3) ta có:
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{15}\ge\frac{a+b+c}{5}\Leftrightarrow P\ge\frac{1}{15}\left(a+b+c\right)\)
Mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow S\ge\frac{1}{5}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
12 tháng 2 2018
p \(\ge\)\(\frac{4}{a^2+b^2+2\left(a+b\right)}\) +\(\sqrt{\left(1+ab\right)^2}\) (bunhia và cosi)
=\(\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+1+ab=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+a+b+1\)
do \(a+b=ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge4\)
dạt a+b = t thì t>=4
cần tìm min \(\frac{4}{t^2}+t+1=\frac{4}{t^2}+\frac{t}{16}+\frac{t}{16}+\frac{7t}{8}+1\)
\(\ge3.\sqrt[3]{\frac{4}{t^2}.\frac{t}{16}.\frac{t}{16}}+\frac{7.4}{8}+1=\frac{21}{4}\)
dau = xay ra khi a=b=2
9 tháng 11 2017
a2(b+c)2+5bc+b2(a+c)2+5ac≥4a29(b+c)2+4b29(a+c)2=49(a2(1−a)2+b2(1−b)2)(vì a+b+c=1)
a2(1−a)2−9a−24=(2−x)(3x−1)24(1−a)2≥0(vì )<a<1)
⇒a2(1−a)2≥9a−24
tương tự: b2(1−b)2≥9b−24
⇒P⩾49(9a−24+9b−24)−3(a+b)24=(a+b)−94−3(a+b)24.
đặt t=a+b(0<t<1)⇒P≥F(t)=−3t24+t−94(∗)
Xét hàm (∗) được: MinF(t)=F(23)=−19
⇒MinP=MinF(t)=−19.dấu "=" xảy ra khi a=b=c=13
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 5 2019
Lời giải:
Vì $abc=1$ nên:
\((a+bc)(b+ac)(c+ab)=a(a+bc)b(b+ac)c(c+ab)=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+1)(1+b^2)\geq (a+b)^2; (a^2+1)(1+c^2)\geq (a+c)^2; (b^2+1)(1+c^2)\geq (b+c)^2\)
Nhân theo vế và thu gọn:
\(\Rightarrow (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq (a+b)(b+c)(c+a)\)
Lại có: Theo BĐT AM-GM thì:
\((a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc\)
\(\geq (ab+bc+ac)(a+b+c)-\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}=\frac{8(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}(*)\) (đây là BĐT khá quen thuộc rồi)
Do đó:
\(P=\frac{(a+bc)(b+ca)(c+ab)}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a+b+c}=\frac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a+b+c}\)
\(P\geq \frac{7(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ac)}+\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ac)}+\frac{1}{a+b+c}\)
Áp dụng BĐT (*) và AM-GM:
\(\frac{7(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ac)}\geq 7.\frac{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)}{8(ab+bc+ac)}=\frac{7}{9}(a+b+c)\geq \frac{7}{9}.3\sqrt[3]{abc}=\frac{7}{3}\)
\(\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ac)}+\frac{1}{a+b+c}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ac)(a+b+c)}}\geq 2\sqrt{\frac{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)}{8(a+b+c)(ab+bc+ac)}}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{7}{3}+\frac{2}{3}=3\)
Vậy $P_{\min}=3$
12 tháng 5 2019
\(\left(a+bc\right)\left(b+ca\right)\left(c+ab\right)\)
\(=a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1+1\)
\(=a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1+1+1-1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a+bc\right)\left(b+ca\right)\left(c+ab\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-1=\left(a+b+c\right)^2-1\)\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2-1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a+b+c}\)
Dấu " = " xảy ra <=> ...
Ta có: \(\frac{1}{3}.\left(a+b+c\right)^2\ge ab+bc+ca\)( BĐT quen thuộc tự c/m)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2-1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}-\frac{1}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{a+b+c}\)\(=3+\frac{a+b+c-3}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Ta có: \(abc=1\Leftrightarrow\sqrt[3]{abc}=1\le\frac{a+b+c}{3}\left(AM-GM\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Dấu " = " xảy ra <=> ...
\(\Rightarrow P\ge3+\frac{a+b+c-3}{\left(a+b+c\right)^2}\ge3\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1
KL:...........
Ta có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge9\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2014}{6}=\frac{1007}{3}\)
Bài này mk làm đc tưf bữa mới đăng lên r ..