Question

[Tran Toan]

Cho a b c dương

CMR \(\frac{a^3+b^3}{2ab}\)\(+\)\(\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ac}\)>=a+b+c

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

Ta cm \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Áp dụng vào bài ta có:

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{2ab}\ge\frac{a+b}{2}\)

Tương tự ta cũng được:

\(\frac{b^3+c^3}{2bc}\ge\frac{b+c}{2};\frac{c^3+a^3}{2ac}\ge\frac{c+a}{2}\)

Cộng theo vế ta có: \(VT\ge\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=VP\)

Dấu = khi a=b=c

P/s: Ngoài ra có thể dùng Bđt AM-GM

Answer 2

[Kiệt Nguyễn]

Làm cách khác mà không biết có đúng không!!! Thật sự là bài này tự nghĩ chứ không tham khảo ở đâu!!!

\(VT=\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2a}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2b}+\frac{c^2}{2a}+\frac{a^2}{2c}\)

\(=\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{c^2+a^2}{2b}+\frac{a^2+b^2}{2c}\)

\(\ge\frac{2bc}{2a}+\frac{2ca}{2b}+\frac{2ab}{2c}=\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\)

Ta đi chứng minh \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)

Thật vậy: \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc.ca}{ab}}=2c\)

\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca.ab}{bc}}=2a\)

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\)

Cộng từng vế của các bđt trên:

\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)

Vậy \(\text{Σ}_{cyc}\frac{a^3+b^3}{2ab}\ge a+b+c\)

Dấu "=" khi a = b = c