chưng minh rằng: X^8n+X^4n+1 chia hết cho X^2n+X^n+1 với mọi số tự nhiên n
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
C
11 tháng 4 2017
Ta có: \(x^{8n}+x^{4n}+1=x^{8n}+2x^{4n}+1-x^{4n}=\left(x^{4n}+1\right)^2-\left(x^{2n}\right)^2\)
\(=\left(x^{4n}+x^{2n}+1\right)\left(x^{4n}-x^{2n}+1\right)=\left(x^{4n}+2x^{2n}+1-x^{2n}\right)\left(x^{4n}-x^{2n}+1\right)=\left[\left(x^{2n}+1\right)-\left(x^n\right)^2\right]\left(x^{4n}-x^{2n}+1\right)=\left(x^{2n}+1-x^n\right)\left(x^{2n}+1+x^n\right)\left(x^{4n}-x^{2n}+1\right)\)=> \(x^{8n}+x^{4n}+1⋮x^{2n}+x^n+1\left(\forall x\right)\)
9 tháng 3 2017
Bài 272 , 273 Sách nâng cao và phát triển toán 8 tập 1 trang 71, bài tương tự đấy
LT
3
14 tháng 2 2018
- Vì n là số tự nhiên nên n = 5k hoặc n = 5k + 1 hoặc n = 5k + 2 hoặc n = 5k + 3 hoặc n = 5k + 4 .( k thuộc N )
+) Với n = 5k thì n chia hết cho 5.
=> n x ( n + 1 ) x ( 2n + 1 ) x ( 3n + 1 ) x ( 4n + 1 ) chia hết cho 5.
+) Với n = 5k + 1 thì 4n + 1 = 4 x ( 5k + 1 ) + 1 = 20k + 4 + 1 = 20k + 5 chia hết cho 5.
=> n x ( n + 1 ) x ( 2n + 1 ) x ( 3n + 1 ) x ( 4n + 1 ) chia hết cho 5.
+) Với n = 5k + 2 thì 2n + 1 = 2 x ( 5k + 2 ) + 1 = 10k + 4 + 1 = 10k + 5 chia hết cho 5.
=> n x ( n + 1 ) x ( 2n + 1 ) x ( 3n + 1 ) x ( 4n + 1 ) chia hết cho 5.
+) Với n = 5k + 3 thì 3n + 1 = 3 x ( 5k + 3 ) + 1 = 15k + 9 + 1 = 15k + 10 chia hết cho 5.
=> n x ( n + 1 ) x ( 2n + 1 ) x ( 3n + 1 ) x ( 4n + 1 ) chia hết cho 5.
+) Với n = 5k + 4 thì n + 1 = 5k + 4 + 1 = 5k + 5 chia hết cho 5.
=> n x ( n + 1 ) x ( 2n + 1 ) x ( 3n + 1 ) x ( 4n + 1 ) chia hết cho 5.
Vậy với mọi số tự nhiên n thì n x ( n + 1 ) x ( 2n + 1 ) x ( 3n + 1 ) x ( 4n + 1 ) chia hết cho 5.
12 tháng 1 2021
Với mọi số tự nhiên n ta có các trường hợp sau: TH1: n chia hết cho 5 thì tích chia hết cho 5. TH 2: n chia cho 5 dư 1 thì n = 5k +1 Þ 4n +1= 20k + 5 chia hết cho 5 Þ tích chia hết cho 5. TH3: n chia cho 5 dư 2 thì n = 5k +2 Þ 2n +1= 10k + 5 chia hết cho 5 Þ tích chia hết cho 5. TH4: n chia cho 5 dư 3 thì n = 5k +3 Þ 3n +1= 15k + 10 chia hết cho 5 Þ tích chia hết cho 5. TH 5: n chia cho 5 dư 4 thì n = 5k +4 Þ n +1= 5k + 5 chia hết cho 5 Þ tích chia hết cho 5. Vậy : n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.
9 tháng 4 2019
Đặt A = n.(n+1).(2n+1).(3n+1).(4n+1)
+, Nếu n chia 5 dư 1 => 4n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5
+, Nếu n chia 5 dư 2 => 3n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5
+, Nếu n chia 5 dư 3 => 2n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5
+, Nếu n chia 5 dư 4 => n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5
+, Nếu n chia hết cho 5 => A chia hết cho 5
Vậy A luôn chia hết cho 5
\(\text{Ta có :}\)
\(x^{8n}+x^{4n}+1=x^{8n}+2x^{4n}+1-x^{4n}\)
\(=\left(x^{4n}+1\right)^2-\left(x^{2n}\right)^2\)
\(=\left(x^{4n}-x^{2n}+1\right)\left(x^{4n}+x^{2n}+1\right)\)
\(\text{Ta lại có :}\)
\(x^{4n}+x^{2n}+1=x^{4n}+2x^{2n}+1-x^{2n}\)
\(=\left(x^{2n}+1\right)^2-\left(x^n\right)^2=\left(x^{2n}-x^n+1\right)\left(x^{2n}+x^n+1\right)\)
\(\Rightarrow x^{8n}+x^{4n}+1=\left(x^{4n}-x^{2n}+1\right)\left(x^{2n}-x^n+1\right)\left(x^{2n}+x^n+1\right)\)
\(\Rightarrow x^{8n}+x^{4n}+1⋮x^{2n}+x^n+1\)