Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đường tròn khác A , B, M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC. Kẻ Ax tiếp xúc với (O). Tia BC cắt Ax tại Q, tia AM cắt BQ tại N.
a) Chứng minh các tam giác BaN, MCN cân
b) Khi MB = MQ, tính BC theo R
a ) .Xét t/g ABM và t/g NBM có:
AB là đường kính của đường trong (O)
nên : góc ABM = góc NMB = 90 độ
M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC
nên : góc ABM = góc MBN=>góc BAM = góc BNM
=> t/g BAN cân tại đỉnh B
Tứ giác AMCB nội tiếp
=> góc BAM = góc MCN ( cùng bù với góc MCB )
=> góc MCN = góc MNC ( cùng bằng góc BAM)
=> t/g MCN cân tại đỉnh M
b) .
Xét t/g MCB và t/g MNQ ta có:
MC = MN ( theo cm trên : MCN cân) ; MB =MQ ( theo giả thiết)
góc BMC = góc MNQ ( vì : góc MCB = góc MNC ; góc MBC = góc MQN ).
=> t/g MCB = t/g MNQ ( c.g.c ) => BC = NQ
Xét t/g vuông ABQ ta có:
AC vuông góc BQ => \(AB^2=BC.BQ=BC.\left(BN+NQ\right)\)
=> \(AB^2=BC.\left(AB+AC\right)=BC.\left(BC+2R\right)\)
=> \(4R^2=BC\left(BC+2R\right)\Rightarrow BC=\left(\sqrt{5}-1\right)R\)