Cho $x,\ y$ là hai số dương và $x+y=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\dfrac{2}{x y}+\dfrac{3}{x^{2}+y^{2}}$.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 2 2021
Áp dụng cosi
`1/x^2+1/y^2>=2/(xy)`
`=>1/2>=2/(xy)`
`=>xy>=4`
Aps dụng cosi
`=>x+y>=2\sqrt{xy}=2.2=4`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=4`
28 tháng 2 2021
Có : \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x^2}\cdot\dfrac{1}{y^2}}=\dfrac{2}{xy}\)
\(\Rightarrow xy\ge4\)
Ta có : \(A=x+y\ge2\sqrt{xy}=2\sqrt{4}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)
Vậy min A = 4 khi $x=y=2$
13 tháng 6 2023
(x+y)^2/x^2+y^2+(x+y)^2/xy>=(x+y)^2/x^2+y^2+xy
Dấu = xảy ra khi (x+y)^2/2xy=x/2y+y/2x+1
=>Min=2
8 tháng 6 2023
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\le1\Rightarrow\dfrac{2}{y}\le1-\dfrac{1}{x}\Rightarrow y\ge\dfrac{2x}{x-1}=2+\dfrac{2}{x-1}\)
\(x+\dfrac{2}{z}\le3\Rightarrow x< 3;\dfrac{2}{z}\le3-x\Rightarrow z\ge\dfrac{2}{3-x}\Rightarrow y+z\ge2+\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{2}{3-x}\)
Lúc này ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
Ta có:
\(6^2\le\left(y+z\right)^2=\left(\sqrt{2}\dfrac{y}{\sqrt{2}}Z\right)^2\le3\left(\dfrac{y^2}{2}+z^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(y^2+2z^2\right)\)
\(\Rightarrow P\ge24\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(y=4,z=2\)
Vậy giá trị nhỏ nhật của P là 24
HP
21 tháng 8 2021
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(P=\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\)
\(=\dfrac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)+\dfrac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)-4\left(x+y\right)+8\)
\(\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}+2\sqrt{\dfrac{y^2}{x-1}.4\left(x-1\right)}-4\left(x+y\right)+8\)
\(\ge4\left(x+y\right)-4\left(x+y\right)+8=8\)
\(\Rightarrow P_{min}=8\Leftrightarrow x=y=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 8 2021
\(\dfrac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge4x\) ; \(\dfrac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge4y\)
Cộng vế:
\(P+4\left(x+y\right)-8\ge4\left(x+y\right)\Rightarrow P\ge8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 1 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{2}{x}+\frac{8}{9y}+\frac{18}{25z}\right)(x+y+z)\geq (\sqrt{2}+\sqrt{\frac{8}{9}}+\sqrt{\frac{18}{25}})^2\)
$\Leftrightarrow A.2\geq \frac{2312}{225}$
$\Leftrightarrow A\geq \frac{1156}{225}$
Vậy $A_{\min}=\frac{1156}{225}$
Ta có \(A=\dfrac{2}{xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2}=\dfrac{4}{2xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2}=3\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)Lại có \(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\) (vì \(x+y=1\))
Và \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow2xy\le\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{2xy}\ge2\)
Do đó \(A\ge3.4+2=14\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy GTNN của A là 14 khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)