Chứng tỏ:
Nếu \(a+1\)và \(2008b^2\)chia hết cho 3, thì \(a+2008b^2\)chia hết cho 3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MA
2
TT
0
TT
2 tháng 3 2020
Ta có : \(2008a^2+a=2009b^2+b\)
\(\Leftrightarrow2008\left(a^2-b^2\right)+\left(a-b\right)=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2008b+2008b+1\right)=b^2\) (1)
Mặt khác : \(2008a^2+a=2009b^2+b\)
\(\Leftrightarrow2009a^2-2009b^2+\left(a-b\right)=a^2\)
\(\Leftrightarrow2009\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=a^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2009a+2009b+1\right)=a^2\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(2008a+2008b+1\right)\left(2009a+2009b+1\right)=\left(ab\right)^2\) (*)
Nếu : \(a=b\) thì từ (*)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\2008+2008b+1=1\end{cases}}\) đều là số chính phương
Nếu \(a\ne b\) thì từ (*) \(\Rightarrow2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\) là số chính phương
Gọi \(\left(2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\right)=d\left(d\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2008a+2008b+1⋮d\\2009a+2009b+1⋮d\end{cases}}\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b⋮d\\2009\left(a+b\right)+1⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\left(d\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow\left(2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\right)=1\)
mà : \(2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\) là số chính phương
\(\Rightarrow2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\) đồng thời là số chính phương
Nên từ (1) \(\Rightarrow a-b\) là số chính phương.
Vậy : bài toán được chứng minh .
31 tháng 1 2016
Vì a chia hết cho 3 => a2 chia hết cho 9
Vì b chia hết cho 3 => b2 chia hết cho 9
Vì a, b chia hết cho 3 => ab chia hết cho 3.3 = 9
=> a2 + ab + b2 chia hết cho 9
2008 đồng dư với 1(mod 3)
\(\Rightarrow\)2008b2 đồng dư với 1(mod 3)
mà 2007b2 chia hết cho 3
\(\Rightarrow\)a+(2007b2+1)=a+2008b2
\(\Rightarrow\)a+1+2007b2 chia hết cho 3
vì a+1 chia hết cho 3(gt)
2007b2 chia hết cho 3 (2007 chia hết cho 3)
\(\Rightarrow\)a+2008b2 chia hết cho 3