Cho x, y, z > 0. CM: \(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TA
2
19 tháng 8 2016
Áp dụng bđt \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}+\frac{p^2}{c}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{a+b+c}\) (bạn tự chứng minh)
Được : \(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge1\) (đpcm)
19 tháng 8 2016
Ta có : \(\begin{cases}2yz\le y^2+z^2\\2zx\le z^2+x^2\\2xy\le x^2+y^2\end{cases}\)
\(VT\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
12 tháng 8 2016
\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2zx+z^2+2xy}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
4 tháng 6 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{9}=1.\)(đpcm)
4 tháng 6 2019
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
( áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\))
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 6 2019
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{y}=a\\\frac{y}{z}=b\\\frac{z}{x}=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow abc=1\)
\(P=\frac{2b}{c}+\frac{2c}{a}+\frac{2a}{b}-a-b-c-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)
\(P=2ab^2+2bc^2+2a^2c-a-b-c-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)
\(ab^2+a\ge2ab\Rightarrow ab^2\ge2ab-a\) ; \(ab^2+\frac{1}{a}\ge2b\Rightarrow ab^2\ge2b-\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow2ab^2\ge2ab+2b-a-\frac{1}{a}\)
Tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow P\ge2\left(ab+ac+bc\right)+2\left(a+b+c\right)-2\left(a+b+c\right)-2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(ab+ac+bc\right)}{abc}-2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z\)
LH
22 tháng 4 2019
\(P=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\)
\(P=\frac{\left[\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+2yz}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{y^2+2xz}}\right)^2+\left(\frac{z}{\sqrt{z^2+2xy}}\right)^2\right]\left[\sqrt{x^2+2yz}^2+\sqrt{y^2+2xz}^2+\sqrt{z^2+2xy}^2\right]}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)(Bunyakovski)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{x}{x^2+2yz}=\frac{y}{y^2+2xz}=\frac{z}{z^2+2xy}\Leftrightarrow x=y=z\)
Vậy GTNN P=1 <=> x=y=z
LH
22 tháng 4 2019
Ngay ở trên hai cái [...] [...] nhân với nhau ấy, tại nó dài quá
23 tháng 8 2019
Vs x,y,z>0 .Áp dụng bđt Svac-xơ có:
\(P=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}\)
<=> P\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)
<=> P\(\ge1\)
Dấu "=" xảy ra<=> x=y=z=1
Vậy minP=1 <=> x=y=z=1
23 tháng 8 2019
Solution:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 9 2019
\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
6 tháng 3 2019
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\) \(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=-\left(yz+zx\right)\\yz=-\left(xy+zx\right)\\zx=-\left(xy+yz\right)\end{matrix}\right.\)
Thay vào ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}=\frac{1}{x^2+yz+yz}=\frac{1}{x^2-xy+yz-zx}=\frac{1}{\left(x-z\right)\left(x-y\right)}\)
CMTT:
\(PT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{1}{\left(x-y\right)\left(z-y\right)}+\frac{1}{\left(z-y\right)\left(z-x\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(z-y\right)+\left(x-z\right)-\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(z-y\right)}=0\left(đpcm\right)\)
\(\hept{\begin{cases}2yz\le y^2+z^2\\2zx\le z^2+x^2\\2xy\le x^2+y^2\end{cases}}\)
\(VT\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)