1/cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=2\)
Chứng minh: \(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{x^2+z^2}\le\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}+3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
FF
11 tháng 7 2018
Ta có : \(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{z^2+x^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}=\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+3\)
Ta lại có : \(x^2+y^2\le2xy\Leftrightarrow\frac{z^2}{x^2+y^2}\le\frac{z^2}{2xy}\)
\(y^2+z^2\le2yz\Leftrightarrow\frac{x^2}{y^2+z^2}\le\frac{x^2}{2yz}\)
\(z^2+x^2\le2zx\Leftrightarrow\frac{y^2}{z^2+x^2}\le\frac{y^2}{2zx}\)
Cộng vế theo vế ta có :
\(\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}\le\frac{z^2}{2xy}+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2zx}\)
\(\Leftrightarrow\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+3\le\frac{z^2}{2xy}+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2zx}+3\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{z^2+x^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}+3\)
\(\Rightarrowđpcm\)
LV
2 tháng 5 2017
ta có: \(VT=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}=3+\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy: \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2xz\end{cases}}\)
do đó \(VT\le3+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}=\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}+3=VF\)
đẳng thức xảy ra khi x=y=z
22 tháng 6 2020
Theo AM - GM và Bunhiacopski ta có được
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\ge\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
Khi đó \(LHS\ge\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+z^2\right]\left[\frac{8}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{z^2}\right]\)
\(\)\(=\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{z}{x+y}\right)^2\right]\left[8+\left(\frac{x+y}{z}\right)^2\right]\)
Đặt \(t=\frac{z}{x+y}\ge1\)
Khi đó:\(LHS\ge\left(\frac{1}{2}+t^2\right)\left(8+\frac{1}{t^2}\right)=8t^2+\frac{1}{2t^2}+5\)
\(=\left(\frac{1}{2t^2}+\frac{t^2}{2}\right)+\frac{15t^2}{2}+5\ge\frac{27}{2}\)
Vậy ta có đpcm
T
23 tháng 6 2020
Ta có:
\(VT-VP=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\Sigma xy\right)\left(\Sigma x\right)\left[z\left(x+y\right)-xy\right]\left(z-x-y\right)}{x^2y^2z^2\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x-y\right)^2\left(2x+y\right)^2\left(x+2y\right)^2}{2x^2y^2\left(x+y\right)^2}\ge0\)
Vì \(z\left(x+y\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-xy\ge4xy-xy>0\)
KY
19 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương, ta được:
\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=3.\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{y\left(y+1\right)}.\frac{y}{2}.\frac{y+1}{4}}=3.\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{z\left(z+1\right)}.\frac{z}{2}.\frac{z+1}{4}}=3.\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\)\(+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\)
\(+\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}.3=\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
29 tháng 1 2021
Ta có: \(\frac{x^2}{x^4+yz}\le\frac{x^2}{2\sqrt{x^4.yz}}=\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2\sqrt{yz}}\)(BĐt cosi) (1)
CMTT: \(\frac{y^2}{y^4+xz}\le\frac{1}{2\sqrt{xz}}\) (2)
\(\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)(3)
Từ (1); (2) và (3) =>A = \(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\)
Áp dụng bđt \(ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\)
cmt đúng: <=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Khi đó: A \(\le\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{xy+yz+xz}{xyz}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=\frac{3xyz}{2xyz}=\frac{3}{2}\)
25 tháng 4 2021
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)
Đặt \(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{x^2+z^2}\le\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}+3\) \(\left(\text{*}\right)\)
Khi đó, ta cần chứng minh bất đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\) luôn đúng với mọi \(x,y,z\in Z^+\) và \(x^2+y^2+z^2=2\) \(\left(\alpha\right)\)
\(VP\left(\text{*}\right)=\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}+3\)
Ta có các bất đẳng thức quen thuộc đối với ba số \(x,y,z\in Z^+\) như sau:
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2xz\end{cases}}\)
Áp dụng các bất đẳng thức trên cho \(VP\left(\text{*}\right)\) ta được:
\(VP\left(\text{*}\right)\ge\left(\frac{x^2}{y^2+z^2}+1\right)+\left(\frac{y^2}{x^2+z^2}+1\right)+\left(\frac{z^2}{x^2+y^2}+1\right)=\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{x^2+z^2}+\frac{2}{x^2+y^2}\) (theo \(\left(\alpha\right)\) )
Hay nói cách khác, \(VP\left(\text{*}\right)\ge VT\left(\text{*}\right)\)
Vậy, bđt \(\left(\text{*}\right)\) được chứng minh.
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\x^2+y^2+z^2=2\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{x^2+z^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+z^2}\)
\(=3+\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}\)
Áp dụng BĐT cô-si cho các cặp số thực không âm sau: x2 và y2 ; y2 và z2 ; x2 và z2 ta được:
\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{z^2}{x^2+y^2}\le\frac{z^2}{2xy}\left(1\right)\)
Tương tự ta được: \(\frac{x^2}{y^2+z^2}\le\frac{x^2}{2yz}\left(2\right);\frac{y^2}{x^2+z^2}\le\frac{y^2}{2xz} \left(3\right)\)
Từ (1) và (2) và (3) suy ra: \(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{x^2+z^2}\le3+\frac{z^2}{2xy}+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)