1. Cho x,y,z là ba số dương thay đổi và thỏa mãn \(^{x^2 y^2 z^2\le xyz}\)Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{x}{x^2 yz} \frac{y}{y^2 zx} \frac{z}{z^2 xy}\)2. Cho x,y,z là các số thực khô...

NA

Nguyễn Anh Tuấn

10 tháng 7 2016 - olm

1. Cho x,y,z là ba số dương thay đổi và thỏa mãn \(^{x^2+y^2+z^2\le xyz}\)Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+zx}+\frac{z}{z^2+xy}\)2. Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\)Tìm giá trị lớn nhất của biểu...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

LX

Lê Xuân Minh

13 tháng 4 2016 - olm

a) Chứng minh rằng \(x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq xy + yz +zx\) với mọi x, y, z

b) Cho x, y, z là ba số thực dương và thoả mãn: \(x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq xyz\). Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{x^{2} + yz} + \frac{y}{y^{2}+ zx} + \frac{z}{z^{2} + xy}\)

#Toán lớp 9

0

LM

Lê Minh Đức

10 tháng 5 2017 - olm

Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn \(x+y+z=1\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(S=\frac{xy+yz+zx-xyz}{xy+yz+zx+xyz+2}\)

#Toán lớp 9

1

LM

Lê Minh Đức

13 tháng 5 2017

\(xy+yz+zx-xyz=1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\)

\(=\left(1-x\right)-y\left(1-x\right)-z\left(1-x\right)+yz\left(1-x\right)\)

\(=\left(1-x\right)\left(1-y-z+yz\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)

\(xy+yz+zx+xyz+2=1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz\)

\(=\left(1+x\right)+y\left(1+x\right)+z\left(1+x\right)+yz\left(1+x\right)\)

\(=\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\)

\(1+x+y+z=1+1\Rightarrow1+x=\left(1-y\right)+\left(1-z\right)\ge2\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}\)

Tương tự ta cũng có: \(1+y\ge2\sqrt{\left(1-z\right)\left(1-x\right)}\)

\(1+z\ge2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\)

Vậy \(S\le\frac{\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}{8\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\frac{1}{8}\)

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thị Kim Tuyến

4 tháng 12 2019 - olm

Câu hỏi hay

Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(M=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)

#Toán lớp 10

2

KS

Kudo Shinichi

4 tháng 12 2019

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{9}{xy+yz+zx}\)

\(M\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{7}{xy+yz+zx}\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :

\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)

và \(\frac{7}{xy+yz+xz}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}=21\)

\(\Rightarrow M\ge9+21=30\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Đúng(0)

S

shitbo

7 tháng 5 2020

Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có:

\(M=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)

\(\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{7}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3}}=30\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=¹/₃

Đúng(0)

TH

Thu Hiền

15 tháng 4 2016

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

\(P=\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z^2+2}{z+xy}\)

#Toán lớp 10

1

TA

Thiên An

15 tháng 4 2016

Theo giả thiết ta có : \(x+yz=yz-z-1=\left(z-1\right)\left(y+1\right)=\left(x+y\right)\left(y+1\right)\)

Tương tự : \(y+zx=\left(x+y\right)\left(x+1\right)\)

Và \(z+xy=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)

Nên \(P=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(y+1\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)

\(=\frac{x^2+y^2+x+y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)

Ta có \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\left(x+1\right)\left(y+1\right)\le\frac{\left(x+y+2\right)^2}{4}\)

nên \(P\ge\frac{2\left(x+y\right)^2+4\left(x+y\right)}{\left(x+y+2\right)^2\left(x+y\right)}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}=\frac{2\left(x+y\right)+4}{\left(x+y+2\right)^2}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}\)

\(=\frac{2}{z+1}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(z+1\right)^2}=f\left(z\right);z>1\)

Lập bảng biến thiên ta được \(f\left(z\right)\ge\frac{13}{4}\) hay min \(P=\frac{13}{4}\) khi \(\begin{cases}z=3\\x=y=1\end{cases}\)

Đúng(1)

BT

bui thai hoc

28 tháng 9 2019 - olm

cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn xyz=1 . tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=\(\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\)

#Toán lớp 9

3

T

tth_new

29 tháng 9 2019

Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!

Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)

Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0

Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)

Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)

Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)

Vậy...

P/s: Ko chắc nha!

Đúng(0)

BT

bui thai hoc

30 tháng 9 2019

dit me may

Đúng(0)

DN

Diệp Nguyễn Thị Huyền

25 tháng 10 2021

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức A =\(\dfrac{1}{x+y+z}-\dfrac{2}{xy+yz+zx}\)

#Toán lớp 9

0

CL

Conan Lê Minh

1 tháng 2 2018 - olm

cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn \(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{zx}{z+x}\)

tính giá trị biểu thức \(M=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)

#Toán lớp 7

0

BT

bui thai hoc

3 tháng 10 2019 - olm

cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn x²+y²+z²=3

1.chứng minh xy²+yz²+zx²\(\le\)2+xyz\(\frac{x}{2+y}+\frac{y}{2+z}+\frac{z}{2+x}\)

2. tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thwucs P=

#Toán lớp 9

4

BT

bui thai hoc

4 tháng 10 2019

ai làm giúp mk vs ạ

Đúng(0)

BT

bui thai hoc

4 tháng 10 2019

cái dề bài câu b : P= là ở trên í ạ

Đúng(0)

TP

Thu Phương Nguyễn

24 tháng 4 2021 - olm

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh:

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}>=\frac{3}{2}\)

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xy+yz+zx=3. Tìm GTNN của:

A= \(\frac{yz}{x^3+2}+\frac{xz}{y^3+2}+\frac{xy}{z^3+2}\)

Mình là thành viên mới, rất mong được học hỏi. Xin hãy giúp đỡ mình ạ!!!

#Toán lớp 9

1

ZH

ミ★Zero ❄ ( Hoàng Nhật )

25 tháng 4 2021

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP