Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Tiếp tuyến tại D cắt đường thẳng BC tại P, đường thẳng PO cắt đường thẳng AC tại M và cắt đường thẳng AB tại N. Gọi I là trung điểm của đoạ...

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm O, gọi AD là đường kính của đường tròn(O). tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt BC tại M đường thẳng MO cắt AB và AC lần lượt tại E và F a, CM MD^2 = MC.MB

#Ngữ văn lớp 9

1

LL

Linh Linh

30 tháng 5 2021

xét ΔMDC và ΔMBD có

∠M chung

∠MBD=∠MDC=\(\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{DC}\)

⇒ΔΔMDC ∼ ΔMBD (g.g)

⇒\(\dfrac{MD}{MB}=\dfrac{MC}{MD}\)⇒MD²=MC.MB

Đúng(1)

I

Incognito

3 tháng 2 2019 - olm

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và AB<AC. Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC,AC tại M,N.1) Chứng minh: Tam giác ANB cân ?2) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại I, BI cắt DM tại K. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho IP//DN. AP cắt BC tại Q. Gọi G là trung điểm DK. CMR: Ba điểm Q,I,G thẳng hàng ?3) AD căt BC ở S. Gọi H...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

NT

Nguyễn Tất Đạt

3 tháng 2 2019

1) Do DN // AB nên ^DNC = ^BAC (Đồng vị). Mà ^BAC = ^DBC nên ^DNC = ^DBC => Tứ giác BNCD nội tiếp

Suy ra 5 điểm B,O,N,C,D cùng thuộc 1 đường tròn => ^BND = ^BOD = ^COD = ^CND

Ta có: DN // AB => ^BND = ^ABN. ^CND = ^NAB => ^NBA = ^NAB => \(\Delta\)ANB cân tại N (đpcm).

2) Ta có: ^DCM = ^DNB = ^DNC => \(\Delta\)DMC ~ \(\Delta\)DCN => DC² = DM.DN. Dễ thấy: DC² = DI.DA

Suy ra: DM.DN = DI.DA => Tứ giác AIMN nội tiếp => ^IMK = ^IAN = ^IBC => \(\Delta\)MIK ~ \(\Delta\)MKB (g.g)

=> KM² = KI.KB. Ta lại có: ^KDI = ^IAB = ^KBD => \(\Delta\)IKD ~ \(\Delta\)DKB (g.g) => KD² = KI.KB

Từ đó: KM² = KD² => KM = KD = DM/2. Do G là trung điểm KD nên \(\frac{GM}{GK}=3\) (1)

Gọi giao điểm của tia AD và tia ND là R. Theo hệ quả ĐL Thales: \(\frac{QB}{QM}=\frac{AB}{MR}\) (2)

Nếu ta gọi giao của PI với BC là V, theo phép vị tự thì I là trung điểm của PV. Từ đó suy ra: GM=GR

Mà GD = GK = GM/3 nên DK = MR/3. Lại áp dụng hệ quả ĐL Thales: \(\frac{IK}{IB}=\frac{DK}{AB}=\frac{MR}{3AB}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra: \(\frac{GM}{GK}.\frac{QB}{QM}.\frac{IK}{IB}=3.\frac{AB}{MR}.\frac{MR}{3AB}=1\). Theo đk đủ của ĐL Mélelaus thì 3 điểm Q,I,G tương ứng nằm trên các cạnh BM,BK,KM của \(\Delta\)BKM thẳng hàng (đpcm).

3) Gọi (HCS) cắt (O) tại điểm thứ hai là T. E là giao điểm của OD và BC.

Ta thấy: ^TBD = ^TCB = ^THS = ^THD (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây + Góc nội tiếp) => Tứ giác BHTD nội tiếp

Từ đó: 5 điểm B,H,E,T,D cùng thuộc 1 đường tròn => ^BTD = ^BED = 90⁰

Mặt khác: ^DTE = 180⁰- ^DBE = 180⁰ - ^BAC = ^BTC => ^DTE = ^BTC => ^BTD = ^CTE

Suy ra: ^CTE = 90⁰ => T nằm trên đường tròn (CE) cố định. Mà T cũng thuộc (O) cố định.

Nên T là điểm cố định. Do đó: Dây CT của đường tròn (HCS) cố định

=> Tâm L của (HCS) luôn nằm trên đường trung trực của đoạn CT cố định (đpcm).

Đúng(0)

HP

Hà Phương

27 tháng 11 2016

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC. Đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại H và cắt đường tròn (T) ngoại tiếp tam giác BNH tại K. Gọi D và E lần lượt là giao điểm của đường thẳng HN với đường thẳng AC và đường tròn (O) ; F là giao điểm của đường thẳng DK và đường tròn (T)....