(Hải Phòng)
Cho \(a,b,c\) là ba số dương. Chứng minh rằng
\(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 6 2020
Ta có:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) ( luôn đúng )
Áp dụng:
\(G=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)
\(\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab}+\frac{bc\left(b+c\right)}{2bc}+\frac{ca\left(c+a\right)}{2ca}\)
\(=\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\)
\(=a+b+c=2019\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=673
30 tháng 8 2020
Bạn tham khảo câu trả lời tại đây:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/63983977591.html
Câu hỏi của Tran Toan - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
TN
17 tháng 8 2018
Áp dụng BĐT Cauchy-SChwarz ta có:
\(VT=\frac{a^4}{a^2+2a^2bc}+\frac{b^4}{b^2+2ab^2c}+\frac{c^4}{c^2+2abc^2}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\cdot\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3}}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\cdot\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}}\)
\(\ge\frac{1^2}{1+2\cdot\frac{1^2}{3}}=\frac{3}{5}=VP\)
Dấu "=" bạn tự nghiên cứu nhé :D
9 tháng 9 2018
DẤU BẰNG XẢY RA\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\) CÁI NÀY LÀ ĐIỂM RƠI NHÉ.
6 tháng 3 2019
Đặt \(P=\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ca}+\frac{c}{c+2ab}\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{a^2}{a^2+2bca}+\frac{b^2}{b^2+2cab}+\frac{c^2}{c^2+2abc}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có: ( link c/m Cauchy-schwarz: Xem câu hỏi )
\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6abc}=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+6abc}\)( \(a+b+c=3\))
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có: \(a+b+c=3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow3\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow1\ge\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow1\ge abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2c^2\ge a^3b^3c^3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(ab+bc+ca\ge3.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\ge3.\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{9}{9}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
đpcm
5 tháng 3 2021
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có ngay :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2\sqrt{b^2}=2\left|b\right|=2b\)( do b > 0 )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)(1) ( như a) đấy :)) )
tương tự : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)(2) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)(3)
Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
c) \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)
\(=\frac{a^3}{2ab}+\frac{b^3}{2ab}+\frac{b^3}{2bc}+\frac{c^3}{2bc}+\frac{c^3}{2ca}+\frac{a^3}{2ca}\)
\(=\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2a}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2b}+\frac{c^2}{2a}+\frac{a^2}{2c}\)(I)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\left(I\right)\ge\frac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{2b+2a+2c+2b+2a+2c}=\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=a+b+c\)
hay \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
VD
8 tháng 8 2020
anh là giởi nhất bảng sếp hạng mà còn ko làm được thì ai làm được
13 tháng 6 2018
\(P=\frac{a^3}{a^2+2bc}+\frac{b^3}{b^2+2ca}+\frac{c^3}{c^2+2ab}+3abc\)
\(P=a-\frac{2abc}{a^2+2bc}+b-\frac{2abc}{b^2+2ca}+c-\frac{2abc}{c^2+2ab}+3abc\)
\(P=\left(a+b+c\right)-2abc\left(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\right)+3abc\)
\(P=3-2abc\left(\frac{1}{a^2+2ab}+\frac{1}{b^2+2bc}+\frac{1}{c^2+2ca}\right)+3abc\)(Do a+b+c=3)
Áp dụng BĐT Schwarz cho 3 phân số:
\(\frac{1}{a^2+2abc}+\frac{1}{b^2+2bc}+\frac{1}{c^2+2ca}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{9}{3^2}=1\)
\(\Rightarrow P\le3-2abc+3abc=3+abc\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số a,b,c: \(abc\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\frac{3^3}{27}=1\)
\(\Rightarrow P\le3+1=4\).
Vậy \(Max_P=4.\)Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
13 tháng 6 2018
Đợi chút; phần áp dụng BĐT schwarz, cái đầu tiên mình gõ thừa chữ "c" ở mẫu thức, bn sửa đi nhé.
