Question

[Nguyễn Thị Huyền Diệp]

Tìm x,y \(\in N^{ }\) khác 0

a) 10+\(11^x+6^x=\left(\sqrt{3}\right)^{y!}\)

b) \(2^{x!}+6^y=10^y\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a.

- Với \(y=1\) vế trái hữu tỉ, vế phải vô tỉ (ktm)

- Với \(y\ge4\Rightarrow y!=8k\Rightarrow\left(\sqrt{3}\right)^y=\left(\sqrt{3}\right)^{8k}=81^k\equiv1\left(mod10\right)\)

Mà \(6^x\equiv6\left(mod10\right)\) ; \(11^x\equiv1\left(mod10\right)\Rightarrow10+11^x+6^x\equiv7\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow\) Pt vô nghiệm

- Với \(y=2\Rightarrow\left(\sqrt{3}\right)^y=3\equiv3\left(mod10\right)\) (vô nghiệm do \(VT\equiv7\left(mod10\right)\) theo cmt)

- Với \(y=3\Rightarrow10+11^x+6^x=27\) 

\(\Rightarrow11^x+6^x=17\Rightarrow x=1\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(1;3\right)\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

b.

Với \(x\ge4\Rightarrow x!=8k\Rightarrow2^{x!}=2^{8k}=256^k\equiv6\left(mod10\right)\)

Và \(6^y\equiv6\left(mod10\right)\Rightarrow2^{x!}+6^y\equiv12\left(mod10\right)\Rightarrow\) vế trái ko chia hết cho 10 trong khi VP chia hết cho 10 (loại)

Với \(x=1\Rightarrow2+6^y\equiv8\left(mod10\right)\Rightarrow\)  vô nghiệm

Với \(x=2\Rightarrow4+6^y=10^y\Rightarrow y=1\)

Với \(x=3\Rightarrow64+6^y=10^y\Rightarrow y=2\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right);\left(3;2\right)\)