Question

[Nguyễn Phi Hòa]

Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng:              \(HA+HB+HC<\frac{2}{3}\left(AB+AC+BC\right)\)   

Answer 1

[Jin Air]

Gọi các đường cao của tam giác nhọn ABC là BD và CE

Từ H kẻ HS//AC,HR//AB (S thuộc AB,R thuộc AC)

HA<AR+RH (Bất đẳng thức tam giác)

Hay HA<AR+AS (1)

AB//HR, AB vuông góc với CE => HR vuông góc với CE 

=> Tam giác HRC vuông tại H => RC>HC (RC là cạnh huyền) (2)

HS//AC, AC vuông góc HC => SH vuông góc HD

=> Tam giác SHE vuông tại H => BS>BH (BH là cạnh huyền) (3)

Từ (1);(2);(3) suy ra HA+HC+HB<AR+AS+RC+BS

Hay HA+HC+HB< (AR+RC)+(AS+BS)

HA+HC+HB<AC+AB

Tương tự ta cũng có: HA+HB+HC<AC+AB 

HA+HB+HC<AB+BC

HA+HB+HC<BC+AC

Cộng 2 vế ta được: 3(HA+HB+HC)<2(AC+AB+BC)

HA+HB+HC<2/3(AC+AB+BC) (ĐPCM)

Answer 2

[Phan Thị Ngọc Quyên]

 Qua H kẻ HF // AB (F thuộc AC), HE // AC (E thuộc AB) 
H là trực tâm ▲ ABC => BH ┴ AC mà HE // AC => BH ┴ HE (từ ┴ đến //) 
=> ▲ BHE vuông tại H => BE > BH (t/c ▲ vuông) (1) 
Chứng minh tương tự, ta được CF > CH (2) 
HE // AF, HF // AE => AEHF là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết) => AE = HF (2 cạnh đối) (3) 
Xét ▲ AHF có AF + HF > AH (bất đẳng thức tam giác) (4) 
Từ (3) và (4) => AE + AF > AH (5) 
Từ (1), (2) và (5) => BE + CF + AE + AF > AH + BH + CH => AB + AC > AH + BH + CH (6) 
Chứng minh tương tự, ta được: 
* AB + BC > AH + BH + CH (7) 
* AC + BC > AH + BH + CH (8) 
Từ (6), (7) và (8) => 2(AB + AC + BC) > 3(AH + BH + CH) => HA + HB + HC < 2/3(AB + AC + BC)