Question

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 4cm, AC = 3cm. Hạ AH vuông góc với BC tại H. Lấy N đối xứng H qua AC, M đối xứng H qua AB. Giao điểm của NH và AC là F, giao điểm của AB với MH là E.

1)   C/m: Tứ giác AFHE là hình chữ nhật, tứ giác AEFN là hình bình hành

2)   Chứng minh: M đối xứng với N qua A.

3)   Tính EF.

4)   ΔABC cần thêm điều kiện gì để AEHF là hình vuông

Answer 1

[Darlingg🥝]

hình mình vẽ trong thống kê hỏi đáp trong trang cá nhân 

a) +)tứ giác AFHE là hcn

Vì N đối xứng với H qua AC (gt)

Mà ta lại có giao điểm của NH và AC là F (gt)

=> N đối xứng với H qua điểm F

=> AF là đường trung trực của tam giác ABC

=> AF là đường cao của tam giác ABC

=> AF_|_HN => ^AFH = 90^o

Vì M đối xứng với H qua AB (gt)

Mà giao điểm của AB với MH là E

=> M đối xứng với H qua E

=> AE là đường trung trực của tam giác ABC

=> AE là đg cao của tam giác ABC

=> AE_|_MH=>^AEH=90^o

Xét tứ giác AFHE có:

^AEH=90^o
^AFH = 90^o

^EAF=90^o (tam giác ABC vuông tại A)

=> tứ giác AFHE là hcn (tứ giác có 3 góc _|_) (đpcm)

+) tứ giác AEFN là hbh

Vì tứ giác AEHF là hcn 

=> EH//AF ; EH=AF

Lại có: ME=EH ( AE đg trung trực)

=> ME//AF ; ME=AF

=> tứ giác AMEF là hbh ( hai cạnh đối // và = nhau) (đpcm)

b) Vì MA//EF (cmt)

Mà A thuộc MN

=> AN//EF

Do đó: M,A,N thẳng hàng (tiền đề ơ-clit) (1)

Mặt khác: AF là đg trung trực của tam giác AHN (cm câu a)

=> AH=AN

EA là đường trung trực của tam giác MAH

=> MA=AH

Do đó:  MA=AN ( vì cùng = AH)

=> A là trung điểm của MN (2)

Từ (1) và (2) M đối xứng với N qua A (đpcm)

c) Xét tứ giác MAHB có:

MA=MH ( cmt câu b) (3)

Lại có: M đối xứng với H qua E => ME đường trung trực của tam giác MAB

=> MB=MA (4)

 HE là đường trung trực của tam giác  HBA => HB=HA (5)

Từ (3) và (4) và (5) => tứ giác MBHA là hình thoi 

=> EB=EA =1/2 AB = 2 ( cm )

Vậy EA = 2 cm 

Lại có: FA=FC=1/2AC=3/2 = 1,5 (cm) ( AF là đường trung trực của tam giác HAC)

Vậy: FA=1,5 cm 

Áp dụng định lí Pi-ta-go và tam giác AEF có: 

AE² + AF² = EF²

=> EF² = 2² + 1,5²

=> EF²= 4 + 2,25

=> EF² = 6,25

=> EF= 2,5

Vậy EF = 2,5 cm 

d) Để AEHF là hình vuông => hcn AEHF có: AE=AF

=> AH là đường trung trực của tam giác EAF

=> AB=AC

=> tam giác ABC cân tại A

Vậy cần đk tam giác ABC cân tại A thì AEHF là hình vuông