Cho a,b ,c >0 chứng mình rằng a^3/b+b^3/c+c^3/a>=ab+bc+ca
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HP
1
11 tháng 5 2016
Áp dung tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
a^3/b +a^3/b +b^2 \(\ge\)3.a^2
\(\Rightarrow\)2a^3/b +b^2>=3a^2
Tương tự : +2b^3/c +c^2 \(\ge\)3.b^2 (1)
+2c^3/a +a^2 \(\ge\)3.c^2 (2)
Ta cộng (1) và (2) được :
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) \(\ge\)3.(a^2+b^2+c^2)
\(\Rightarrow\)a^3/b+b^3/c+c^3/a \(\ge\)a^2+b^2+c^2
Mặt khác : a^2+b^2+c^2 \(\ge\)ab+bc+ca
Nên : a^3/b+b^3/c+c^3/a \(\ge\)ab+bc+ca
Vậy đpcm
HT
4
24 tháng 3 2016
a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2
=>2a^3/b +b^2>=3a^2
tương tự
2b^3/c +c^2 >=3.b^2
2c^3/a +a^2 >=3.c^2
cộng lại ta được
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2)
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2
mặt khác
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
nên
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca
dấu = xảy ra khi a=b=c
MK
1
7 tháng 7 2019
\(\frac{a-bc}{a+bc}=\frac{a-bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}=\frac{a-bc}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a-bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\left(a-bc\right)\sqrt{\frac{1}{\left(a+b\right)^2\left(c+a\right)^2}}\le\frac{\frac{a-bc}{\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{\left(c+a\right)^2}}{2}=\frac{a-bc}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{2\left(c+a\right)^2}\)
Tương tự, ta có: \(\frac{b-ca}{b+ca}\le\frac{b-ca}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{b-ca}{2\left(a+b\right)^2}\)\(;\)\(\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{c-ab}{2\left(c+a\right)^2}+\frac{c-ab}{2\left(b+c\right)^2}\)
=> \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{a-bc+b-ca}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{b-ca+c-ab}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{a-bc+c-ab}{2\left(c+a\right)^2}\)
\(\frac{\left(a+b\right)\left(1-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(1-c\right)}+\frac{\left(b+c\right)\left(1-a\right)}{2\left(b+c\right)\left(1-a\right)}+\frac{\left(c+a\right)\left(1-b\right)}{2\left(c+a\right)\left(1-b\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2019
Biến đổi tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}\ge3\)
b/ \(VT=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+ac+bc\right)}{9\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)^2}}\ge\frac{8.3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
HL
0
NT
3
19 tháng 3 2019
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ac\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2019
\(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+ac+bc}\ge\frac{\left(ab+ac+bc\right)^2}{ab+ac+bc}=ab+ac+bc\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
ML
7 tháng 8 2016
Sử dụng bđt Côsi:
\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)
Tương tự và suy ra:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Thu gọn lại, ta có đpcm.
BN
7 tháng 8 2016
a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2
=>2a^3/b +b^2>=3a^2
Cm tương tự :
2b^3/c +c^2 >=3.b^2
2c^3/a +a^2 >=3.c^2
Cộng vế ta đc :
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2)
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2
Mặt khác :
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
nên
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca Dấu
= xảy ra khi a=b=c
Dễ dàng chứng minh được với \(a,b>0:\)
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{a^3}{b}+b^2\ge a\left(a+b\right)\) \(\left(1\right)\)
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị theo bđt trên, ta có:
\(\frac{b^3}{c}+c^2\ge b\left(b+c\right)\) \(\left(2\right)\) và \(\frac{c^3}{a}+a^2\ge c\left(c+a\right)\) \(\left(3\right)\)
Cộng \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) vế theo vế, ta được:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)=ab+bc+ca+\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vì \(a,b,c>0\) nên \(a^2+b^2+c^2\ne0\)
Do đó, trừ cả hai vế của bđt trên cho \(a^2+b^2+c^2\) ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh, tức là:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c\)
a3/b+b3/c+c3/a=a4/ab+b4/bc+c4/ca>=(a2+b2+c2)2/ab+bc+ac>=(ab+bc+ca)2/ab+bc+ca=ab+bc+ca
dấu đẳng thức xảy ra<=>x=y=z