Question

[Aocuoi Huongngoc Lan]

Cho (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O)  (A và B là 2 tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OM và AB. Kẻ đường kính BC của đường tròn (O).
a,C/m 4 điểm M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn.

b,C/m OI.OM=OA²

c,Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với MC tại E và cắt đường thẳng BA tại F. C/m FC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác MAOB có 

\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\)

Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp

Answer 2

[ᴳᵒᵈ乡ղցմվÊղ๖ۣۜ⁀ᶦᵈᵒᶫ]

a) Ta có

MAMA là tiếp tuyến của đường tròn (gt)

 ⇒⇒ MA⊥OAMA⊥OA => ˆMAO=90°MAO^=90° 

MBMB là tiếp tuyến của đường tròn (gt)

 ⇒⇒ MB⊥OBMB⊥OB => ˆMBO=90°MBO^=90°

Xét tứ giác MAOBMAOB có ˆMAO+ˆMBO=180°MAO^+MBO^=180° mà chúng ở vị trí đối nhau

⇒⇒ tứ giác MAOBMAOB là tứ giác nội tiếp 

⇒⇒ M,A,O,BM,A,O,B cùng thuộc 11 đường tròn

b) Ta có MA,MBMA,MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại MM

⇒⇒ MA=MBMA=MB ⇒⇒ MOMO là tia phân giác ˆAMBAMB^

Xét ΔAMI∆AMI và ΔBMI∆BMI 

Có MA=MBMA=MB (cmt)

ˆAMI=ˆBMIAMI^=BMI^ (cmt) 

MIMI chung => ΔAMI=ΔBMI∆AMI=∆BMI (c.g.c)

⇒⇒ ˆAIM=ˆBIMAIM^=BIM^ 

Mà ˆAIM+ˆBIM=180°AIM^+BIM^=180° (kề bù)

⇒⇒ ˆAIM=180°2=90°AIM^=180°2=90°

⇒⇒ MO⊥ABMO⊥AB tại II

c) Ta có: ˆBDC=90°BDC^=90°(Góc nội tiếp chắn đường kính BCBC) 

⇒⇒ ΔBDC∆BDC vuông tại D⇒BD⊥CDD⇒BD⊥CD

ΔBCM⊥BΔBCM⊥B (do BMBM là tiếp tuyến của (O))

Hệ thức lượng vào ΔBCM⊥B,BD⊥CDΔBCM⊥B,BD⊥CD (chứng minh trên) ta có:

BM2=MD.MCBM2=MD.MC (1)

Xét ΔMAO∆MAO vuông tại A

AI⊥OMAI⊥OM (Vì AB⊥OMAB⊥OM) ⇒⇒ AM2=MI.MOAM2=MI.MO (2)

mà AM=BMAM=BM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (3) 

Từ (1), (2) và (3) ⇒⇒ MD.MC=MA2=MI.MOMD.MC=MA2=MI.MO

d) Xét ΔEOM∆EOM cà ΔIOF∆IOF 

ˆEOMEOM^ chung 

ˆOIF=ˆOEM=90°OIF^=OEM^=90° (gt &cm)

⇒⇒ ΔEOM∼ΔIOF∆EOM∼∆IOF (g.g)

⇒⇒ OEOI=OMOFOEOI=OMOF (tỉ số đồng dạng)

⇒⇒ OE.OF=OM.OIOE.OF=OM.OI

Lại có ΔOAM∆OAM vuông tại AA

Mà AI⊥OMAI⊥OM (cmt)

⇒⇒ OA2=OI.OMOA2=OI.OM Mà OA=OC=ROA=OC=R

⇒⇒ OC2=OF.OEOC2=OF.OE

⇒⇒ OCOE=OFOCOCOE=OFOC

Xét ΔOCF∆OCF và ΔOCE∆OCE có 

ˆCOFCOF^ chung 

OCOE=OFOCOCOE=OFOC

⇒⇒ ΔOCF∼ΔOEC∆OCF∼∆OEC (c.g.c)(c.g.c)

⇒⇒ ˆOFC=ˆOCE=90°OFC^=OCE^=90°

⇒⇒ OC⊥CFOC⊥CF tại C

⇒⇒ FCFC là tiếp tuyến của đường tròn 

(ĐPCM)