Cho phương trình ax2+bx+c=0 và a,b,c là các số nguyên lẻ. Chúng minh rằng nếu phương trình đó có nghiệm thì ngiệm đó không thể là số nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 1 2016
BÀI TOÁN PHỤ: CHứng minh rằng số chính phương lẻ chia cho 8 dư 1.
Giải: Xét số chính phương lẻ là \(m^2\left(m\in Z\right)\)
Như vậy m là số lẻ, đặt \(m=2n+1\)
Ta có:
\(m^2=\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1=4.n.\left(n+1\right)+1\)
Vì n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2
\(\Rightarrow4n\left(n+1\right) \) chia hết cho 8
\(\Rightarrow4.n.\left(n+1\right)+1\) chia 8 dư 1
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Vì a lẻ nên \(a\ne0\), phương trình \(ax^2+bx+c=0\) là phương trình bậc hai.
Xét \(\Delta=b^2-4ac\): b lẻ, theo bài toán phụ có \(b^2=8k+1\left(k\in Z\right)\)
a,c lẻ \(\Rightarrow\) \(ac\) lẻ
Đặt \(ac=2l-1\left(l\in Z\right)\)
Do đó \(\Delta=b^2-4ac=8k+1-4.\left(2l-1\right)=8k+1-8l+4=8\left(k-l\right)+5 \)chia cho 8 dư 5, theo bài toán phụ trên ta có \(\Delta\) không phải số chính phương.
\(\Delta\) là số nguyên, không phải óố chính phương \(\Rightarrow\sqrt{\Delta}\) là số vô tỉ
Nghiệm của phương trình đã cho (nếu có) là: \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
b,a\(\in Z\), \(\sqrt{\Delta}\) vô tỉ nên x là vô tỉ.
Vậy phương trình có nghiệm nếu có thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ.
ơng là phươngax2+bx+c=0
29 tháng 8 2015
Giả sử rằng \(r=\frac{p}{q}\) là nghiệm hữu tỉ của phương trình, trong đó \(p,q\) là các số nguyên, nguyên tố cùng nhau (tức phân số \(\frac{p}{q}\) tối giản).
Ta có ngay \(ap^2+bpq+q^2c=0\to4a^2p^2+4abpq+4acq^2=0\to\left(2ap+bq\right)^2=\left(bq\right)^2-4acq^2\)
Nếu q là số chẵn thì \(ap^2\) là số chẵn và do đó p chẵn, mâu thuẫn với tính nguyên tố cùng nhau.
Nếu q là số lẻ thì \(bq,2ap+bq\) là các số lẻ. Mặt khác một số chính phương lẻ luôn chia 8 dư 1 nên ta
suy ra \(\left(2ap+bq\right)^2-\left(bq\right)^2\vdots8.\) Do đó \(4acpq\vdots8\to acpq\vdots2\to p\vdots2\). Từ phương trình đầu suy ra \(cq^2\vdots2\to q\vdots2\), vô lí.
S
21 tháng 4 2020
Cách khác:
Đặt \(a=2p+1;b=2q+1;c=2r+1\left(p,q,r\in Z\right)\)
Giả sử phương trình \(ax^2+bx+c=0\) không có nghiệm hữu tỉ thì \(\Delta=b^2-4ac\) phải là số chính phương
Ta có:\(\Delta=\left(2q+1\right)^2-4\left(2r+1\right)\left(2p+1\right)\)
\(=4q^2+4q+1-\left(8r-4\right)\left(2p+1\right)\)
\(=4q^2+4q+1-\left(16pr+8r-8p-4\right)\)
\(=4q^2+4q-16pr+8r-8p+5\)
\(=8\left[\frac{q\left(q+1\right)}{2}-2pr+r-p\right]+5\equiv5\left(mod8\right)\)
vô lý vì số chính phương lẻ không thể chia 8 dư 5
=> đpcm
CM
20 tháng 9 2017
Chọn B.
Đặt
Điều này chứng tỏ z là một nghiệm (phức) của phương trình 2 x 2 + 2 x + 5 = 0
Từ đó suy ra
PN
1 tháng 7 2020
Nếu \(b>a+c\)tương đương với \(b^2>a^2+2ac+c^2\)
Trừ cả 2 vế cho 4ac ta được : \(b^2-4ac>a^2-2ac+c^2=\left(a-c\right)^2\)
Hay \(\Delta>\left(a-c\right)^2\ge0\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
