\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\x^3-3\left|x\right|x-m^2+6m\ge0\end{matrix}\right.\) để hệ có nghiệm, giá trị thích hợp của tham số m là
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 3 2021
Bài 1 \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\)
Nếu m = 1, hệ vô nghiệm
Nếu m ≠ 1, hệ tương đương
\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\x\le\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\x\ge\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm khi một trong hai hệ trong hệ ngoặc vuông có nghiệm ⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{2}{m-1}\ge-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\\dfrac{2}{m-1}\le4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\-2\le1-m\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\2\le4m-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{3}{2}\le m\le4\end{matrix}\right.\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 3 2021
Lời giải:
Nếu $x=-2$ thì HBPT $\Leftrightarrow $m\geq -2$
Nếu $x\neq -2$ thì HBPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x\leq m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x\leq m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow -1\leq x\leq m(*)\).
Giả sử $m>-1$ thì HBPT có vô số nghiệm thực $x$
Giả sử $m< -1$ thì $(*)$ vô lý nên HBPT chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 nghiệm $x=-2$
Giả sử $m=-1$ thì $(*)$ có nghiệm $x=-1$. Tổng kết lại HBPT có 2 nghiệm $x=-1$ và $x=-2$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 2 2021
Xét \(x^2-5x+4\le0\Leftrightarrow1\le x\le4\Rightarrow D_1=\left[1;4\right]\)
Xét \(x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-m^2-1\right)\le0\)
- Nếu \(\left|m\right|\ge1\Rightarrow D_2=\left[2;m^2+1\right]\)
- Nếu \(\left|m\right|< 1\Rightarrow D_2=\left[m^2+1;2\right]\)
Do \(2\in\left[1;4\right]\), để \(D=D_1\cap D_2\) là 1 đoạn có độ dài bằng 1
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2+1=1\\m^2+1=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
21 tháng 2 2021
pt (1) có nghiệm\(-8< x< 1\)
pt (2) có nghiệm\(x>\dfrac{2}{a^2-3a+2}\) nếu a<1 hay a>2
\(x< \dfrac{2}{a^2-3a+2}\) nếu 1<a <2
pt \(\left(2\right)\)vô nghiệm nếu a=1 hay a=2
Để hệ bpt vô nghiệm:
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{2}{a^2-3a+2}\le-8\\\dfrac{2}{a^2-3a+2}\ge1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{2}{a^2-3a+2}+8\le0\\\dfrac{2}{a^2-3a+2}-1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{2\left(2a-3\right)^2}{a^2-3a+2}\le0\\\dfrac{-a^2+3a}{a^2-3a+2}\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}1< a< 2\\0\le a< 1< 2< a\le3\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 2 2021
Xét \(x^2+7x-8\le0\Leftrightarrow-8\le x\le1\) hay \(D_1=\left[-8;1\right]\)
Xét \(f\left(x\right)=ax^2-\left(3a-2\right)x-2>0\) (1)
- Với \(a=0\Leftrightarrow x>1\) hệ vô nghiệm (thỏa mãn)
- Với \(a\ne0\) , \(\Delta=\left(3a-2\right)^2+8a=9a^2-4a+4=9\left(a-\dfrac{2}{9}\right)^2+\dfrac{32}{9}>0\)
Gọi 2 nghiệm của pt (1) là \(x_1;x_2\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\x_1\le-8< 1\le x_2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\a.f\left(-8\right)\le0\\a.f\left(1\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\a\left(88a-18\right)\le0\\a\left(a-3a+2-2\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow0< a\le\dfrac{9}{44}\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}a< 0\\\left[{}\begin{matrix}x_1< x_2\le-8\\1\le x_1< x_2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a< 0\\\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a.f\left(-8\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{3a-2}{2a}< -8\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a.f\left(1\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{3a-2}{2a}>1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Tự giải nốt nhé, nhìn mà thấy làm biếng luôn :D
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 2 2020
a/ \(x^2+2x-15< 0\Rightarrow-5< x< 3\)
TH1: \(m=-1\) ko thỏa mãn
TH2: \(m>-1\Rightarrow x\ge\frac{3}{m+1}\)
Để BPT đã cho có nghiệm thì: \(\frac{3}{m+1}< 3\)
\(\Leftrightarrow m+1>1\Rightarrow m>0\)
TH3: \(m< -1\Rightarrow x\le\frac{3}{m+1}\)
Để BPT có nghiệm \(\Rightarrow\frac{3}{m+1}>-5\)
\(\Leftrightarrow3< -5\left(m+1\right)\)
\(\Leftrightarrow5m< -8\Rightarrow m< -\frac{8}{5}\)
Vậy để BPT đã cho có nghiệm thì \(\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -\frac{8}{5}\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 2 2020
b/ \(x^2-3x-4\le0\Leftrightarrow-1\le x\le4\)
Xét bpt \(\left(m-1\right)x\ge2\)
TH1: \(m=1\) ko thỏa mãn
TH2: \(m>1\Rightarrow x\ge\frac{2}{m-1}\)
Để BPT có nghiệm \(\Rightarrow4\le\frac{2}{m-1}\)
\(\Rightarrow2\left(m-1\right)\le1\Rightarrow m\le\frac{3}{2}\)
Kết hợp điều kiện \(\Rightarrow1< m\le\frac{3}{2}\)
TH3: \(m< 1\Rightarrow x\le\frac{2}{m-1}\)
Để BPT có nghiệm \(\Rightarrow\frac{2}{m-1}\ge-1\)
\(\Leftrightarrow2\le1-m\Rightarrow m\le-1\)
Vậy để BPT đã cho có nghiệm thì: \(\left[{}\begin{matrix}m\le-1\\1< m\le\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Lý thuyết cơ bản:
BPT: \(f\left(x\right)\le f\left(m\right)\) có nghiệm \(x\in\left(a;b\right)\) khi và chỉ khi \(f\left(m\right)\ge\min\limits_{\left(a;b\right)}f\left(x\right)\)
BPT: \(f\left(x\right)\le f\left(m\right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\in\left(a;b\right)\) khi và chỉ khi \(f\left(m\right)\ge\max\limits_{\left(a;b\right)}f\left(x\right)\)
Nói tóm lại: có nghiệm thì so sánh với min, nghiệm đúng với mọi x thì so sánh với max
Trong trường hợp \(f\left(x\right)\ge f\left(m\right)\) thì làm ngược lại.
Ta có: \(x^2-3x-4\le0\Leftrightarrow-1\le x\le4\)
Xét \(x^3-3\left|x\right|x\ge m^2-6m\) trên \(\left[-1;4\right]\)
BPT có nghiệm khi \(f\left(m\right)=m^2-6m\le\max\limits_{\left[-1;4\right]}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)=x^3-3\left|x\right|x\)
- Với \(-1\le x\le0\Rightarrow f\left(x\right)=x^3+3x^2=x^3+3x^2-2+2\)
\(=\left(x+1\right)\left[\left(x+1\right)^2-3\right]+2\le2\)
- Với \(0\le x\le4\Rightarrow f\left(x\right)=x^3-3x^2=x^3-3x^2-16+16\)
\(=\left(x-4\right)\left(x^2+x+4\right)+16\le16\)
So sánh 2 giá trị 2 và 16 ta suy ra \(\max\limits_{\left[-1;4\right]}\left(x^3-3\left|x\right|x\right)=f\left(4\right)=16\)
\(\Rightarrow m^2-6m\le16\Leftrightarrow m^2-6m-16\le0\)
\(\Leftrightarrow-2\le m\le8\)
\(-8\le m\le2\)