Giải hệ phương trình:x+y+z=1 và x^4+y^4+z^4=xyz?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
1
4 tháng 9 2018
a) Áp dụng bất đẳng thức:
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Ta có: \(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Tiếp tục áp dụng ta có: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge ab^2c+abc^2+a^2bc=abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge abc\) do \(a+b+c=1\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
b) Từ câu a đã chứng minh bên trên, phương trình \(x^4+y^4+z^4=xyz\)có nghiệm \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Từ đó ta có hệ phương trình:
\(\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\y=\frac{1}{3}\\z=\frac{1}{3}\end{cases}}}\)
Chúc bạn buổi tối vui vẻ ^^
VH
1
NT
3
1 tháng 2 2017
Sửa lại bài bạn ở trên:
Ta có: x4 + y4 + z4 \(\ge\)(xy)2 + (yz)2 + (zx)2
\(\ge\)xzy2 + xyz2 + yzx2 = xyz(x + y + z) = xyz
Dấu = xảy ra khi x = y = z
Kết hợp với x + y + z = 1
\(\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
1 tháng 2 2017
đề => \(x^4+y^4+z^4=xyz\left(x+y+z\right)\left(1\right)\)
ta có bđt \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
áp dụng ta được \(\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge xy.yz+xy.zx+yz.xz=xyz\left(x+y+z\right)\)
dấu "=" xảy ra <=> x=y=z
mà x+y+z=1
=>x=y=z=1/3
(nếu cần cm bđt phụ thì nói mình nha)
MS
1
1 tháng 2 2018
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=xyz\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(x^4+y^4+z^4=xyz.\left(x+y+z\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)TA CÓ :
\(x^4+y^4+z^4=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=\ge xy.yz+yz.zx+zx.xy\)\(=xyz.\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\)\(x=y=z\)
Mà \(x+y+z=1\)\(\Rightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)\)
HN
22 tháng 11 2017
\(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=xyz\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
6 tháng 9 2019
Có: $x^4+y^4\geq 2x^2y^2\Rightarrow x^4+y^4+z^4\geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$
Lại có: $x^2y^2+y^2z^2\geq 2xzy^2\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq xyz(x+y+z)=xyz$
Vậy $\Rightarrow x^4+y^4+z^4\geq xyz$
Dấu = có khi: $x=y=z=\dfrac{1}{3}$
MS
1
1 tháng 2 2018
\(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=xyz\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(x^4+y^4+z^4=xyz.\left(x+y+z\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)ta có :
\(x^4+y^4+z^4=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy.yz+yz.zx+zx.xy=xyz.\left(x+y+z\right)\)\(\Rightarrow\)\(x=y=z\)
Mà \(x+y+z=1\)\(\Rightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vậy hệ phương trình có nguyệm \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)\)
( mình mới lớp 7 à nên có làm sai thì thông cảm giùm nha )
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 1 2019
\(\left\{{}\begin{matrix}x^4+y^4\ge2x^2y^2\\y^4+z^4\ge2y^2z^2\\x^4+z^4\ge2x^2z^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\)
Lại có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2+y^2z^2\ge2xy^2z\\x^2y^2+x^2z^2\ge2x^2yz\\y^2z^2+x^2z^2\ge2xyz^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xy^2z+x^2yz+xyz^2\)
\(\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge xyz\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\) Hệ có nghiệm duy nhất \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)
moi hok klop 6