CMR nếu \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\) thì a=b=c
JUP MÌNH
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
2
NT
11 tháng 2 2016
Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z
=> a = (y + z - x) / 2 ; b = (x + z - y) / 2 ; c = (x + y - z) / 2
=> P = a/b+c + b/c+a + c/a+b = (y + z - x) / 2x + (x + z - y) / 2y + (x + y - z) / 2z
= 1/2. (y/x + z/x - 1 + x/y + z/y - 1 + x/z + y/z - 1) = 1/2. (x/y + y/x + x/z + z/x + y/z + z/y - 3)
Áp dụng BĐT A/B + B/A ≥ 0 hoặc Cô-si cũng được
=> P ≥ 1/2. (2 + 2 + 2 - 3) = 3/2 (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> x = y = z <=> b+c = c+a = a+b <=> a = b = c
NT
11 tháng 2 2016
P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)
P + 3 = 1+ a/(b+c) + 1+ b/(c+a) + 1+ c/(a+b)
P + 3 = (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a)
P + 3 = (a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] (*)
ad bđt cô si cho 3 số:
2(a+b+c) = (a+b) + (b+c) + (c+a) ≥ 3.³√(a+b)(b+c)(c+a)
1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≥ 3.³√1/(a+b)(b+c)(c+a)
nhân lại vế theo vế 2 bđt: 2(a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] ≥ 9
=> P + 3 ≥ 9/2 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c
- - -
cách khác: P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)
M = b/(b+c) + c/(c+a) + a/(a+b)
N = c/(b+c) + a/(c+a) + b/(a+b)
Thấy: M + N = 3
P + M = (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) ≥ 3 (cô si cho 3 số)
P + N = (a+c)/(b+c) + (b+a)/(c+a) + (c+b)/(a+b) ≥ 3 (cô si)
=> 2P + M + N ≥ 6 => 2P + 3 ≥ 6 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; đẳng thức khi a = b = c
--------------
b) ad bđt Bunhia: 1² = [2.(2x) + 1.y]² ≤ (2²+1²)(4x²+y²) => 4x² + y² ≥ 1/5 (đpcm)
dấu "=" khi 2x/2 = y/1 và 4x+y = 1 <=> x = y = 1/5
- - -
Có thể không cần Bunhia, ad bđt a² + b² ≥ 2ab (*)
(*) quá hiển nhiên từ (a-b)² ≥ 0
x² + 1/25 ≥ 2x/5 <=> 4x² ≥ 8x/5 - 4/25 (1*)
y² + 1/25 ≥ 2y/5 <=> y² ≥ 2y/5 - 1/25 (2*)
lấy (1*)+(2*) => 4x²+y² ≥ 8x/5+2y/5 - 4/25 - 1/25 = 2(4x+y)/5 - 5/25 = 1/5 (đpcm)
dấu "=" khi x = y = 1/5
29 tháng 6 2015
Ta có : a+b/b+c = c+d/d+a
=> (a+b)/(c+d)= (b+c)/(d+a)
=> (a+b)/(c+d)+1=(b+c)/(d+a)+1
hay: (a+b+c+d)/(c+d)=(b+c+d+a)/(d+a)
- Nếu a+b+c+d khác 0 thì : c+d=d+a => c=a
- Nếu a+b+c+d = 0 (điều phải chứng minh)
Y
2 tháng 11 2015
với a.b.c.d khác 0 ta có :
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1\Rightarrow\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}=\frac{b}{d}\left(1\right)\)
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\Rightarrow\frac{a-b}{c-d}=\frac{b}{d}\left(2\right)\)
Từ 1 và 2 \(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\) (đpcm) lm thế này đúng ko z
26 tháng 12 2016
a) xem lại thiếu cái đk gì đó
b) thích chọn số nào tùy
\(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}< \frac{3}{4}< \frac{4}{4}< \frac{5}{4}< \frac{6}{4}< \frac{7}{4}< \frac{8}{4}< \frac{9}{4}< \frac{10}{4}=\frac{5}{2}\)
19 tháng 8 2015
a) Ta có a / b < c / d khi ad < bc (1)
Thêm ab vào 2 vế của (1), ta có: ad+ab <bc+ab
a(b+d) < b(a+c) suy ra a / b<(a+c) / (b+c) (2)
Thêm cd vào 2 vế của (1), ta có: ad +cd<bc+cd
d(a+c) <c(b+d) suy ra (a+c) / (b+d)<c / d (3)
Từ (2) và (3) suy ra: a / b < (a+c) / (b+d) < c / d
bổ sung điều kiện: a,b,c khác 0
từ \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Rightarrow b^2=ca;c^2=ab;a^2=bc\) (nhân chéo)
mà a,b,c khác 0
=>b3=b.ca;c3=c.ab;a3=a.bc
=>b3=c3=a3(=abc)
hay a=b=c(đpcm)
a/b = b/c= c/a = a+b+c / a+b+ c = 1
vậy nên a= b=c
PS : áp dụng công thức a/b = b/c = a+b/b+c