Cho hình bình hành ABCD có AC = 3 AD
C/M \(cot\widehat{BAD}\)\(\ge\dfrac{4}{3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 4 2022
\(S_{\Delta ACD}=\dfrac{1}{2}AC.AD.sin\widehat{CAD}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
\(V=\dfrac{AB.AC.AD}{6}.\sqrt{1+2cos90^0.cos60^0.cos120^0-cos^290^0-cos^260^0-cos^2120^0}=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}\)
\(\Rightarrow d\left(B;\left(ACD\right)\right)=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
17 tháng 5 2017
Ta có :
\(\widehat{ABD}=\widehat{ADB}\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{BDC}\)
\(\Rightarrow\widehat{BDC}=\widehat{ADB}\)
Suy ra \(\widehat{BAD}=\pi-2\widehat{BDC}\)
Từ đó ta có :
\(\tan\widehat{BAD}=-\tan2\widehat{BDC}=-\dfrac{2\tan\widehat{BDC}}{1-\tan^2\widehat{BDC}}=-\dfrac{2.\dfrac{3}{4}}{1-9\cdot16}=-\dfrac{3}{2}.\dfrac{16}{7}=-\dfrac{24}{7}\)Vì \(\dfrac{\pi}{2}< \widehat{BAD}< \pi\) nên \(\cos\widehat{BAD}< 0\)
Do đó : \(\cos\widehat{BAD}=-\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2\widehat{BAD}}}=-\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{576}{49}}}=-\dfrac{7}{25}\)
\(\sin\widehat{BAD}=\cos\widehat{BAD}\tan\widehat{BAD}=\dfrac{-7}{25}.\dfrac{-24}{7}=\dfrac{24}{25}\)
\(AC^2+BD^2=2\left(AB^2+AD^2\right)\)
\(\Leftrightarrow AB^2+AC^2=5BD^2\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(cosBAD=\dfrac{AB^2+AD^2-BD^2}{2AB.AD}\ge\dfrac{4BD^2}{AB^2+AD^2}=\dfrac{4BD^2}{5BD^2}=\dfrac{4}{5}\)
\(\Rightarrow sinBAD=\sqrt{1-cos^2BAD}\le\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\dfrac{3}{5}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{sinBAD}\ge\dfrac{5}{3}\)
\(\Rightarrow cotBAD=\dfrac{cosBAD}{sinBAD}\ge\dfrac{4}{5}.\dfrac{5}{3}=\dfrac{4}{3}\)