Question

[做当当]

Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB=3, AC=4

a) Tính AH, BH?

b) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn (A, AH)

c) Kẻ tiếp tuyến BI và CK với đường tròn (A, AH) (I, K là tiếp điểm). Chứng minh: 

1, BC=BI+CK

2) I, A, K thẳng hàng

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được: 

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{16}{144}+\dfrac{9}{144}=\dfrac{25}{144}\)

\(\Leftrightarrow AH^2=\dfrac{144}{25}\)

hay \(AH=\dfrac{12}{5}=2.4\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được: 

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

\(\Leftrightarrow BH^2=AB^2-AH^2=3^2-2.4^2=3.24\)

hay BH=1,8

Vậy: AH=2,4; BH=1,8

b) Xét (A;AH) có 

AH là bán kính

CH⊥AH tại H(gt)

Do đó: CH là tiếp tuyến của (A;AH)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

hay CB là tiếp tuyến của (A;AH)(đpcm)

c) 

1) Xét (A) có 

CH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

CK là tiếp tuyến có K là tiếp điểm(gt)

Do đó: CH=CK(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (A) có 

AH là bán kính

BH⊥AH tại H(gt)

Do đó: BH là tiếp tuyến của (O)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

Xét (A) có 

BH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

BI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

Do đó: BH=BI(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

mà BH=BI(cmt)

và CH=CK(cmt)

nên BC=BI+CK(đpcm)

2) Xét (A) có 

BH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

BI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB là tia phân giác của \(\widehat{HAI}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{HAI}=2\cdot\widehat{HAB}\)

Xét (A) có 

CK là tiếp tuyến có K là tiếp điểm(gt)

CH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

Do đó: AC là tia phân giác của \(\widehat{HAK}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{HAK}=2\cdot\widehat{CAH}\)

Ta có: \(\widehat{KAI}=\widehat{KAH}+\widehat{IAH}\)(tia AH nằm giữa hai tia AK,AI)

mà \(\widehat{HAI}=2\cdot\widehat{HAB}\)(cmt)

và \(\widehat{HAK}=2\cdot\widehat{CAH}\)(cmt)

nên \(\widehat{KAI}=2\cdot\widehat{HAB}+2\cdot\widehat{HAC}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{KAI}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{KAI}=2\cdot90^0=180^0\)

hay K,A,I thẳng hàng(đpcm)