cho bieu thuc: A=1/1.2+1/2.3+1/3.4+...+1/99.100
a: CMR: 1/n.(n+1) = 1/n-(1/n+1)
b: tinh A
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 10 2016
Không thể quy đồng mẫu số các phân số ở VT . Cần tách mỗi phân số thành hiệu 2 phân số . Nhận xét :
Do đó : \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}\)
=> Bài toán đã được cm
1 tháng 6 2020
\(A=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{49\cdot50}\)
\(A=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)
\(A=\frac{1}{1}-\frac{1}{50}\)
\(A=\frac{49}{50}\)
1 tháng 6 2020
\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{49.50}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)
\(=1-\frac{1}{50}=\frac{49}{50}\)
3 tháng 6 2015
Bài giải:
3S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + n(n +1)3
= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + ...+ n(n + 1)[(n + 2) - (n -1)]
= 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) - n(n + 1)(n - 1)
= n(n + 1)(n + 2)
=> S N(N+1)(n+2)/3
MT
3 tháng 6 2015
3S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + n(n +1)3
= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + ...+ n(n + 1)[(n + 2) - (n -1)]
= 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) - n(n + 1)(n - 1)
= n(n + 1)(n + 2)
=> S = \(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
H
1
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
5 tháng 6 2020
\(=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+...+\frac{n+1-n}{n.\left(n+1\right)}.\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}< 1\)
8 tháng 2 2017
3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+n(n+1).3
3A=1.2(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-3)+....+n(n+1)(n-2)-(n-1)
3A=1.2.3-1.2.0+2.3.4-2.3.3+.+n(n+1)+(n+2)-(n-1)+n(n-1)
=>n(n-1)+(n+2)=\(\frac{n\left(n-1+\left(n+2\right)\right)}{3}\)
8 tháng 2 2017
3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+.....+N(N+1).3
3A=1.2(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-3)+........+n(n+1)(n-2)-(n-1)
3a=1.2.3-1.2.0+2.3.4-2.3.3+....+n(n+1)+(n+2)-(n-1)+n(n+1)
=>n(n-1)+(n+2)=n(n-1)+(n+2)/3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2019
Lời giải:
\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{n(n+1)}\)
\(=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+....+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
\(=1-\frac{1}{n+1}\)
Vì \(1\in\mathbb{Z}; \frac{1}{n+1}\not\in\mathbb{Z}, \forall n\in\mathbb{N}\geq 1\Rightarrow A=1-\frac{1}{n+1}\not\in\mathbb{Z}\)
Ta có đpcm.
MT
13 tháng 1 2016
D = 1.2 + 2.3+ 3.4 +...+ 99.100
=>3D=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+99.100.3
=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+....+99.100.(101-98)
=1.2.3-0.1.2+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
=99.100.101-0.1.2
=99.100.101
=999900
=>D=999900:3=333300
Dn = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ n (n +1)
=>3Dn=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+n(n+1).3
=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+...+n.(n+1).[(n+2)-(n-1)]
=1.2.3-0.1.2+2.3.4-1.2.3+2.3.4-2.3.4+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
=n.(n+1).(n+2)-0.1.2
=n.(n+1)(n+2)
=>Dn=n.(n+1)(n+2):3
=>điều cần chứng minh
10 tháng 10 2021
\(1,\)
\(a,\) Sửa: \(A=10^n+72n-1⋮81\)
Với \(n=1\Leftrightarrow A=10+72-1=81⋮81\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow A=10^k+72k-1⋮81\)
Với \(n=k+1\Leftrightarrow A=10^{k+1}+72\left(k+1\right)-1\)
\(A=10^k\cdot10+72k+72-1\\ A=10\left(10^k+72k-1\right)-648k+81\\ A=10\left(10^k+72k-1\right)-81\left(8k-1\right)\)
Ta có \(10^k+72k-1⋮81;81\left(8k-1\right)⋮81\)
Theo pp quy nạp
\(\Rightarrow A⋮81\)
\(b,B=2002^n-138n-1⋮207\)
Với \(n=1\Leftrightarrow B=2002-138-1=1863⋮207\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow B=2002^k-138k-1⋮207\)
Với \(n=k+1\Leftrightarrow B=2002^{k+1}-138\left(k+1\right)-1\)
\(B=2002\cdot2002^k-138k-138-1\\ B=2002\left(2002^k-138k-1\right)+276138k+1863\\ B=2002\left(2002^k-138k-1\right)+207\left(1334k+1\right)\)
Vì \(2002^k-138k-1⋮207;207\left(1334k+1\right)⋮207\)
Nên theo pp quy nạp \(B⋮207,\forall n\)
10 tháng 10 2021
\(2,\)
\(a,\) Sửa đề: CMR: \(1\cdot2+2\cdot3+...+n\left(n+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
Đặt \(S_n=1\cdot2+2\cdot3+...+n\left(n+1\right)\)
Với \(n=1\Leftrightarrow S_1=1\cdot2=\dfrac{1\cdot2\cdot3}{3}=2\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow S_k=1\cdot2+2\cdot3+...+k\left(k+1\right)=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}\)
Với \(n=k+1\)
Cần cm \(S_{k+1}=1\cdot2+2\cdot3+...+k\left(k+1\right)+\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\)
Thật vậy, ta có:
\(\Leftrightarrow S_{k+1}=S_k+\left(k+1\right)\left(k+2\right)\\ \Leftrightarrow S_{k+1}=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}+\left(k+1\right)\left(k+2\right)\\ \Leftrightarrow S_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\)
Theo pp quy nạp ta có đpcm
\(b,\) Với \(n=0\Leftrightarrow0^3=\left[\dfrac{0\left(0+1\right)}{2}\right]^2=0\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow1^3+2^3+...+k^3=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2\)
Với \(n=k+1\)
Cần cm \(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)
Thật vậy, ta có
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3\\ =\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3\\ =\dfrac{k^2\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)^3}{4}=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)
Theo pp quy nạp ta được đpcm
10 tháng 7 2016
Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó:
Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1 = 1.2.3 - 0.1.2
a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2 = 2.3.4 - 1.2.3
a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4
…………………..
an-1 = (n - 1)n → 3an-1 =3(n - 1)n → 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
an = n(n + 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:
3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)
10 tháng 7 2016
Ta có:3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) 
a) \(VP=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}=\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)
VT=VP=>đpcm
b)áp dụng a)
\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+..+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{1}{1}-\frac{1}{100}=\frac{100}{100}-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}\)
Vậy A=99/100
b) A=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/99-1/100
=1-1/100
=99/100
=9,9