Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M là điểm bất kỳ trong hình vuông đó. Chứng minh rằng MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 >=2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 11 2017
Lời giải:
Qua M kẻ \(FG\perp AB,CD\) như hình vẽ
Ta thấy $AFGD$ và $BFGC$ có các góc đều là góc vuông nên chúng là hình chữ nhật. Do đó \(AF=DG; BF=CG\)
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông ta có:
\(\left\{\begin{matrix} MA^2=MF^2+FA^2\\ MB^2=MF^2+FB^2\\ MC^2=MG^2+GC^2\\ MD^2=MG^2+GD^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow MA^2+MC^2-(MB^2+MD^2)=FA^2+GC^2-(FB^2+GD^2)\)
Do \(AF=DG; BF=CG\Rightarrow AF^2=DG^2; BF^2=GC^2\)
\(\Rightarrow FA^2+GC^2-(FB^2+GD^2)=0\)
\(\Leftrightarrow MA^2+MC^2-(MB^2+MD^2)=0\)
\(\Leftrightarrow MA^2+MC^2=MB^2+MD^2\)
Ta có đpcm
Lời giải:
Qua $M$ kẻ $EF\perp AB, CD$ với $E\in AB, F\in DC$
Dễ thấy $AEFD$ và $EBCF$ là hình chữ nhật do có 4 góc vuông.
Do đó $AE=DF; EB=CF; EF=AD=BC$
Áp dụng định lý Pitago ta có:
\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=AE^2+EM^2+EB^2+EM^2+CF^2+MF^2+DF^2+MF^2\)
\(=(AE^2+DF^2)+(EB^2+CF^2)+2EM^2+2FM^2\)
\(=2AE^2+2BE^2+2EM^2+2MF^2=2[(AE^2+BE^2)+(EM^2+MF^2)]\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=2(AE^2+BE^2)+2(EM^2+MF^2)\geq (AE+BE)^2+(MF+EM)^2\)
\(=AB^2+EF^2=AB^2+AD^2=2\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $M$ là tâm hình vuông.
Hình vẽ: