Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn. Kẻ CH vuông góc với AB, MB cắt nửa đường tròn (O) tại Q và cắt CH tại N. Chứng minh: a) MO vuông góc AC. b) \(MA^2\)=MQ.MB c) MO cắt AC tại I. Chứng minh: A, I, Q, M cùng thuộc một đường tròn. d) NC = NH.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho nửa đường tròn đấy ạ . Mn giúp mk với , mk cảm ơn trước ạ 😊😊
c) Vì \(\left\{{}\begin{matrix}AM\bot AB\\CN\bot AB\end{matrix}\right.\Rightarrow\)\(CN\parallel AM\)
AIQM nội tiếp \(\Rightarrow\angle QIC=\angle QMA=\angle AMB=\angle CNM\) \((CN\parallel AM)\)
\(\Rightarrow CQIN\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle CIN=\angle CQN=\angle CQB=\angle CAB\)
\(\Rightarrow IN \parallel AB\) mà I là trung điểm AC \(\Rightarrow\) N là trung điểm CH
\(\Rightarrow CN=NH\)
a) Vì MA, MC là tiếp tuyến nên: ˆMAO=ˆMCO=900⇒MAO^=MCO^=900⇒ AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO.
ˆADB=900ADB^=900 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ˆADM=900⇒ADM^=900 (1)
Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến). Suy ra OM là đường trung trực của AC
⇒ˆAEM=900⇒AEM^=900 (2).
Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.
b) Tứ giác AMDE nội tiếp suy ra: ˆADE=ˆAME=ˆAMOADE^=AME^=AMO^ (góc nội tiếp cùng chắn cung AE) (3)
Tứ giác AMCO nội tiếp suy ra: ˆAMO=ˆACOAMO^=ACO^(góc nội tiếp cùng chắn cung AO) (4).
Từ (3) và (4) suy ra ˆADE=ˆACOADE^=ACO^
c) Tia BC cắt Ax tại N. Ta có ˆACB=900ACB^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ˆACN=900⇒ACN^=900, suy ra ∆ACN vuông tại C. Lại có MC = MA nên suy ra được MC = MN, do đó MA = MN (5).
Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì ICMN=IHMA(=BIBM)ICMN=IHMA(=BIBM) (6).
Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH.
Để giải quyết bài toán này, ta sử dụng định lí Menelaus và định lí Stewart.
Bước 1: Chứng minh AD/AC + AM/AN = 3.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác AGC với đường thẳng cắt AC, ID, MG, ta có:
$\dfrac{IM}{MD} \cdot \dfrac{DN}{NC} \cdot \dfrac{CG}{GA} = 1$
Do $CG = 2 \cdot GA$ và $DN = AN - AD = AN - 2\cdot AI$, ta có thể đưa về dạng:
$\dfrac{IM}{MD} \cdot \dfrac{AN-2\cdot AI}{NC} = \dfrac{1}{2}$
Từ định lí Stewart, ta có $4\cdot AI\cdot DI + AD^2 = 3\cdot ID^2$, do đó $ID = \dfrac{AD}{\sqrt{3}}$.
Thay vào phương trình trên, ta được:
$\dfrac{IM}{MD} \cdot \dfrac{AN-AD}{NC} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Tương đương với:
$\dfrac{IM}{MD} \cdot \dfrac{AD}{NC} + \dfrac{IM}{MD} \cdot \dfrac{AM}{AN} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \dfrac{AD}{NC}$
Từ đó suy ra:
$\dfrac{AM}{AN} + \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{3}{\sqrt{3}}$
Do đó:
$\dfrac{AD}{AC} + \dfrac{AM}{AN} = 3$ (Đpcm)