Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD bằng A.
3
a
3
24
.
B.
2
π
a
3
24
.
C.
2
2
a
3
9
.
D.
3
π
a
3
8
.
...
Đọc tiếp
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD bằng
A. 3 a 3 24 .
B. 2 π a 3 24 .
C. 2 2 a 3 9 .
D. 3 π a 3 8 .
Đáp án B
Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Ta chứng minh G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện.
Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD.
Ta có G là trung điểm của các đoạn MN, PQ, RS.
Δ A C D = Δ B C D ⇒ A N = B N ⇒ Δ N A B cân tại N ⇒ M N ⊥ A B
Tương tụ ta có M N ⊥ C D .
Ta có: P Q = R S = M N = A N 2 − A M 2 = a 3 2 2 − a 2 4 = a 2 2 .
Suy ra d G , A B = d G , C D = 1 2 M N = a 2 4 .
Chứng minh tương tự ta có d G , A C = d G , A D = d G , B D = d G , B C = a 2 4
Vậy G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD.
Bán kính mặt cầu R = a 2 4 . Suy ra thể tích khối cầu là V = 4 3 π R 3 = 4 3 π a 2 4 3 = 2 π a 3 24 .