Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x - 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2 = 12 và mặt phẳng (P): x-2y+2z+11=0. Xét điểm M di động trên (P); các điểm A, B, C phân biệt di động trên (S) sao cho AM, BM, CM là các tiếp tuyến của (S). Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án D
Mặt cầu S 1 có tâm M(2;1;0) và có bán kính R 1 = 1
Gọi M' là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Q)
Ta có M M ' ⊥ Q nên đường thẳng MM' đi qua điểm M và nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) làm vectơ chỉ phương.
=> phương trình tham số đường thẳng MM': x = 2 + 2 t y = 1 − 2 t z = − t , t ∈ ℝ
Vì M' là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng Q ⇒ M ' = M M ' ∩ Q
=> tọa độ điểm M' là nghiệm hệ phương trình:
2 x − 2 y − z + 1 = 0 x = 2 + 2 t y = 1 − 2 t z = − t ⇔ 2 2 + t − 2 1 − 2 t − − t + 1 = 0 x = 2 + 2 t y = 1 − 2 t z = − t ⇔ t = − 1 3 x = 4 3 y = 5 3 z = 1 3
⇒ M ' 4 3 ; 5 3 ; 1 3
Gọi I(x;y;z) là tâm của mặt cầu (S'), do mặt cầu (S') đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Q) => I đối xứng với M qua mặt phẳng (Q)
=> I đối xứng với M qua mặt phẳng M'
=> M' là trung điểm của đường thẳng IM.
⇒ x = 2 x M ' − x M = 2 3 y = 2 y M ' − y M = 7 3 z = 2 z M ' − z M = 2 3 ⇒ I 2 3 ; 7 3 ; 2 3
Khi đó mặt cầu (S') có tâm I 2 3 ; 7 3 ; 2 3 , bán kính R' = R = 1 nên có phương trình:
x − 2 3 2 + y − 7 3 2 + z − 2 3 2 = 1
Đáp án D
Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;-2) và có bán kính R=2. Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có đúng một điểm chung khi và chỉ khi (P) tiếp xúc với (S), từ đó ta được:
Đáp án A
Mặt cầu (S) có tâm I(-1;4;-3) và có bán kính R = 6. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên trục Ox. Ta có H(-1;0;0) và IH=5.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P). Ta có
d(I; (P)) = IK ≤ IH = 5 < R = 6
Do đó mặt phẳng (P) luôn cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Vậy không tồn tại mặt phẳng (P) chứa Ox và tiếp xúc với (S)
Chọn D