Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng
α
đi qua AB cắt cạnh SC, SD lần lượt tại M, N. Tính tỉ số
S
N
S
D
để
α
chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. A.
1
2
B.
1
3
C.
5
-
1
2
D.
3
-
1
2
...
Đọc tiếp
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng α đi qua AB cắt cạnh SC, SD lần lượt tại M, N. Tính tỉ số S N S D để α chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
A. 1 2
B. 1 3
C. 5 - 1 2
D. 3 - 1 2
Chọn C
Ta có: α ∩ ( S C D ) = M N ⇒ M N / / C D .
Do đó α là (ABMN).
Mặt phẳng α chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau là
V S . A B M N = V A B C D M N ⇒ V S . A B M N = 1 2 . V S . A B C D 1
Ta có:
V S . A B C = V S . A C D = 1 2 V S . A B C D
Đặt S N S D = x với (0<x<1), khi đó theo Ta-let ta có S N S D = S M S C = x .
Mặt khác
V S . A B M V S . A B C = S A S A . S B S B . S M S C = x ⇒ V S . A B M = x 2 V S . A B C D
V S . A M N V S . A C D = S A S A . S M S C . S N S D = x 2 ⇒ V S . A M N = x 2 2 V S . A B C D
⇒ V S . A B M N = V S . A B M + V S . A M N = ( x 2 + x 2 2 ) . V S . A B C D 2
Từ (1), (2) suy ra
x 2 + x 2 2 = 1 2 ⇔ x 2 + x - 1 = 0
x = - 1 - 5 2 v à x = - 1 + 5 2
Đối chiếu điều kiện của x ta được S N S D = - 1 + 5 2