Chứng minh a\(\in\)Z mà không chia hết cho 5 và 7 thì : (a4-1).(a4+15a+1) chia hết cho 35
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HL
1
22 tháng 1 2016
a^4-1 = (a-1)(a+1)(a^2+1)
Nếu a chia 5 du 1 suy ra n-1 chia het cho 5
Nêu a chia 5 du 2 suy ra n^2 chia 5 du 4 suy ra n^2+1 chia het cho 5 (dùng đồng dư)
tương tự với a chia 5 du 3,4
vay a^4-1 luôn chia het cho 5
CM chia hết 7 là xong
Nêu a chia 7 du 1 ,5,6 thay nhu tren vao a^4-1 la xong
Voi a chia 7 du 2,3,4
Neu a chia 7 du 2 thi a^4 chia 7 du 16 ; a^2 chia 7 du 4<=>15a^2 chia 7 du 60
suy ra a^4+15a^2+1 chia 7 du 16+60+1=77 chia het cho 7
Neu a chia 7 du 3, 4 tươ]ng tu
22 tháng 1 2016
Ta có: a không chia hết cho 5
=> a chia 5 dư 1;2;3 hoặc 4
=>a4 chia 5 dư 1 (tính chất)
=>a4-1 chia hết cho 5
Phần sau làm tương tự
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 1 2020
Lời giải:
Đặt biểu thức đã cho là $A$
$\bullet$ Chứng minh $A\vdots 5$
Ta nhớ đến tính chất quen thuộc là: Một số chính phương khi chia cho $5$ có dư là $0,1,4$
Do đó, với $a$ là số nguyên không chia hết cho $5$ thì $a^2$ chia $5$ dư $1$ hoặc $4$
Hay $a^2\equiv \pm 1\pmod 5$
$\Rightarrow a^4\equiv 1\pmod 5\Rightarrow a^4-1\equiv 0\pmod 5$
$\Rightarrow A=(a^4-1)(a^4+15a^2+1)\equiv 0\pmod 5$
Hay $A\vdots 5(*)$
----------------------
Chứng minh $A\vdots 7$
$A=(a^4-1)(a^4+a^2+1)+14a^2(a^4-1)$
$=(a^2+1)(a^6-1)+14a^2(a^4-1)$
Ta nhớ đến tính chất quen thuộc: Một số lập phương khi chia cho $7$ có dư $0,1,6$
Do đó, với $a$ là số không chia hết $7$ thì $a^3$ chia $7$ có thể dư $1,6$
Hay $a^3\equiv \pm 1\pmod 7$
$\Rightarrow a^6\equiv 1\pmod 7\Rightarrow a^6-1\equiv 0\pmod 7$
$\Rightarrow A=(a^2+1)(a^6-1)+14a^2(a^4-1)\equiv 0\pmod 7$
Hay $A\vdots 7(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow A\vdots 35$
NB
1
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
5 tháng 2 2021
\(=\left(a+a^2\right)+\left(a^3+a^4\right)+\left(a^5+a^6\right)+...+\left(a^{29}+a^{30}\right)=\)
\(=a\left(a+1\right)+a^3\left(a+1\right)+a^5\left(a+1\right)+...+a^{29}\left(a+1\right)=\)
\(=\left(a+1\right)\left(a+a^3+a^5+...+a^{29}\right)⋮\left(a+1\right)\)
