Tìm tập hợp các giá trị thực của m sao cho bất phương trình
log
2
x
+
m
≥
1
2
x
2
có nghiệm
x
∈
1
;
3
A.
1
ln
2
;
+
∞
B.
9
2
−
log
2
3
;
+
∞
C.
1
2
;
+
∞
D.
1
ln
2
+
1
2
...
Đọc tiếp
Tìm tập hợp các giá trị thực của m sao cho bất phương trình log 2 x + m ≥ 1 2 x 2 có nghiệm x ∈ 1 ; 3
A. 1 ln 2 ; + ∞
B. 9 2 − log 2 3 ; + ∞
C. 1 2 ; + ∞
D. 1 ln 2 + 1 2 log 2 ln 2 ; + ∞
Đáp án D
Bất phương trình
log 2 x + m ≥ 1 2 x 2 ⇔ m ≥ 1 2 x 2 − log 2 x * .
Xét hàm số f x = 1 2 x 2 − log 2 x với x ∈ 1 ; 3 ,
ta có f ' x = x − 1 x . ln 2 = x 2 . ln 2 − 1 x . ln 2 .
Phương trình
f ' x = 0 ⇔ x 2 . ln 2 − 1 = 0 ⇔ x 2 = 1 ln 2 ⇔ x = 1 ln 2 .
Tính các giá trị
f 1 = 1 2 ; f 1 ln 2 = 1 2 ln 2 + 1 2 log 2 ln 2 ; f 3 = 9 2 − log 2 3.
Dựa vào BBT, suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là
f 1 ln 2 = 1 2 ln 2 + 1 2 log 2 ln 2 .
Khi đó, bất phương trình (*) có nghiệm
x ∈ 1 ; 3 ⇔ m ≥ 1 2 ln 2 + 1 2 log 2 ln 2 .