Question

[Pham Trong Bach]

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB.

          1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn

          2) Chứng minh: MN² = NF.NA và MN = NH

          3) Chứng minh:  H B 2 H F 2 − E F M F = 1 .

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp một đường tròn

Vẽ được các yếu tố để chứng minh phần (1).

Ta có M B O ^ = 90 0 ,   M A O ^ = 90 0  (theo t/c của tiếp tuyến và bán kính)

Suy ra:  M A O ^ + M B O ^ = 180 0 .Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh: MN² = NF. NA và MN = NH

Ta có A E / / M O ⇒ A E M ^ = E M N ^   mà   A E M ^ = M A F ^ ⇒ E M N ^ = M A F ^

Δ N M F   v à   Δ N A M có:  M N A ^ chung;  E M N ^ = M A F ^

nên  Δ N M F đồng dạng với  Δ N A M

⇒ N M N F = N A N M ⇒ N M 2 = N F . N A        1

Mặt khác có: A B F ^ = A E F ^ ⇒ A B F ^ = E M N   ^ h a y   H B F ^ = F M H ^  

=> MFHB là tứ giác nội tiếp

⇒ F H M ^ = F B M ^ = F A B ^   h a y   F H N ^ = N A H ^

Xét Δ N H F   &   Δ N A H   c ó   A N H   ^ c h u n g ;   N H F ^ = N A H ^

=> Δ N M F đồng dạng  Δ N A H ⇒ ⇒ N H N F = N A N H ⇒ N H 2 = N F . N A        2  

Từ (1) và (2) ta có NH = HM

3) Chứng minh:  H B 2 H F 2 − EF M F = 1 .

Xét Δ M AF  và Δ M E A  có: A M E ^  chung, M A F ^ = M E A ^

suy ra  Δ M AF  đồng dạng với  Δ M E A

⇒ M E M A = M A M F = A E A F ⇒ M E M F = A E 2 A F 2      (3)

Vì MFHB là tứ giác nội tiếp ⇒ M F B ^ = M H B ^ = 90 0 ⇒ B F E ^ = 90 0 và A F H ^ = A H N ^ = 90 0 ⇒ A F E ^   = B F H ^  

Δ A E F  và Δ H B F  có: E F A ^ = B F H ^   ;   F E A ^ = F B A ^

suy ra  Δ A E F   ~   Δ H B F  

⇒ A E A F = H B H F ⇒ A E 2 A F 2 = H B 2 H F 2                (4)

Từ (3) và (4) ta có M E M F = H B 2 H F 2 ⇔ M F + F E M F = H B 2 H F 2 ⇔ 1 + F E M F = H B 2 H F 2 ⇔ H B 2 H F 2 − F E M F = 1